βραδυνό ολοκλήρωμα 84

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

βραδυνό ολοκλήρωμα 84

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Ιούλ 20, 2010 10:53 pm

Να υπολογίσετε το
J =\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{\sqrt{x}}{\left(1+x\right)^{2}}dx

[hide]Source: Harvard Qual Sept '08[/hide]


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 84

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τρί Ιούλ 20, 2010 11:20 pm

:clap2: :clap2:
Συνημμένα
Mathxl-84.jpg
Mathxl-84.jpg (16.74 KiB) Προβλήθηκε 257 φορές


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 84

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Ιούλ 20, 2010 11:58 pm

Μία άλλη λύση είναι και η εξής

J =\displaystyle\int_{0}^\infty{\frac{{\sqrt x }}{{{{\left({1+x}\right)}^{2}}}}}dx =\int_{0}^{1}{\frac{{\sqrt x }}{{{{\left({1+x}\right)}^{2}}}}}dx+\int_{1}^\infty{\frac{{\sqrt x }}{{{{\left({1+x}\right)}^{2}}}}}dx\mathop =\limits_{dx =-\frac{{dt}}{{{t^{2}}}}}^{x =\frac{1}{t}}

=\displaystyle\int_{1}^{+\infty }{\frac{1}{{\sqrt t{{\left({1+t}\right)}^{2}}}}}dt+\int_{1}^\infty{\frac{{\sqrt x }}{{{{\left({1+x}\right)}^{2}}}}}dx =\int_{1}^\infty{\frac{1}{{{{\left({1+x}\right)}^{2}}}}}\left({\sqrt x+\frac{1}{{\sqrt x }}}\right)dx =

=\displaystyle\int_{1}^\infty{\frac{{dx}}{{\sqrt x\left({1+x}\right)}}}\mathop =\limits_{\frac{{dx}}{{\sqrt x }}= 2du}^{\sqrt x = u}\int_{1}^\infty{\frac{{2du}}{{1+{u^{2}}}}}=\left.{2\arctan u}\right|_{1}^{+\infty }= 2\left({\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}}\right) =\frac{\pi }{2}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες