int{ arctan(x) / x^2 / (1+x^2) dx}

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2883
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

int{ arctan(x) / x^2 / (1+x^2) dx}

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Σάβ Μαρ 28, 2009 8:08 pm

\displaystyle\int{\frac{\arctan{x}}{x^2\left({1+x^2}\right)}\,dx}

[ γιά τό οποίο έχω μιά σύντομη επίλυση ]


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6885
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: int{ arctan(x) / x^2 / (1+x^2) dx}

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Μαρ 28, 2009 8:32 pm

Λήμμα : Ισχύει \displaystyle{\displaystyle  
\frac{1} 
{{x\left( {x^2  + 1} \right)}} = \frac{1} 
{x} - \frac{x} 
{{x^2  + 1}}(1) 
}(την απόδειξη τη ...χρωστάω!)
Έχουμε :

\displaystyle{\displaystyle  
\int {\frac{{\arctan x}} 
{{x^2 \left( {1 + x^2 } \right)}}} dx = \int {\arctan x\left( {\frac{1} 
{{x^2 }} - \frac{1} 
{{1 + x^2 }}} \right)dx = \int {\arctan x\frac{1} 
{{x^2 }}} } dx - \int {\arctan x\frac{1} 
{{1 + x^2 }}} dx = \int {\arctan x\left( { - \frac{1} 
{x}} \right)} ^{\prime}dx - \frac{{(\arctan x)^2 }} 
{2} =  - \frac{{\arctan x}} 
{x} + \int {\frac{1} 
{{x\left( {1 + x^2 } \right)}}} dx - \frac{{\left( {\arctan x} \right)^2 }} 
{2}\mathop  = \limits^{(1)}  - \frac{{\arctan x}} 
{x} - \frac{{\left( {\arctan x} \right)^2 }} 
{2} + \int {(\frac{1} 
{x} - \frac{x} 
{{1 + x^2 }})dx =  - \frac{{\arctan x}} 
{x}}  - \frac{{\left( {\arctan x} \right)^2 }} 
{2} + \ln |x| - \frac{{\ln (1 + x^2 )}} 
{2} + c 
}.
Y.Γ Εσβησα το αρχικό post γιατί ξέχασα να αντικαταστήσω ένα χ. Η βιασύνη και το τσiπουρο αυτά κάνουν! Συγνώμη..
τελευταία επεξεργασία από chris_gatos σε Σάβ Μαρ 28, 2009 8:54 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
giannisn1990
Δημοσιεύσεις: 253
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 11:29 pm
Τοποθεσία: Greece

Re: int{ arctan(x) / x^2 / (1+x^2) dx}

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannisn1990 » Σάβ Μαρ 28, 2009 8:37 pm

Αν θέσουμε \displaystyle x=\tan y με y \in (\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}) τότε \displaystyle dx=(1+\tan ^{2} y)dy και το ολοκλήρωμα γράφετε \displaystyle I=\int \frac{y\cdot (1+\tan ^{2} y)}{\tan ^{2} y\cdot (1+\tan ^{2} y)}\,dy=\int y\cdot (\cot^{2} y)\,dy=\int y(1+\cot^{2} y)-y\,dy=-\int y\,d(\cot y)-\frac{y^{2}}{2}=-y\cdot \cot y+\int\cot y \,dy-\frac{y^{2}}{2}=-y\cdot \cot y-\frac{y^{2}}{2}+\ln|\sin y|+c=-\frac{\arctan x}{x}-\frac{\arctan ^{2} x}{2}+\ln|\sin \arctan x|+c


Γιάννης
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2883
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: int{ arctan(x) / x^2 / (1+x^2) dx}

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Μαρ 29, 2009 7:47 am

Χωρίς νά διαφέρει ουσιαστικά από αυτήν τού giannisn1990 είναι η παρακάτω επίλυση:
Θέτωντας x=\tan{\theta}, προκύπτουν \arctan{x}=\theta καί \displaystyle\frac{1}{1+x^2}\,dx=d\theta.
Επομένως \displaystyle\int{\frac{\arctan{x}}{x^2\left({1+x^2}\right)}\,dx}=\int{\frac{\theta}{\tan^2{\theta}}\,d\theta}=\int{\frac{\theta}{\tan^2{\theta}}+\theta-\theta\,d\theta}=
\displaystyle\int{\theta\,\frac{1+\tan^2{\theta}}{\tan^2{\theta}}\,d\theta}-\int{\theta\,d\theta}=-\int{\theta\left({\frac{1}{\tan{\theta}}}\right)^{\prime}d\theta}-\frac{\theta^2}{2}+c_1=
\displaystyle-\frac{\theta}{\tan{\theta}}+\int{({\theta})^{\prime}\frac{1}{\tan{\theta}}\,d\theta}-\frac{\theta^2}{2}+c_1=-\frac{\theta}{\tan{\theta}}+\int{\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\,d\theta}-\frac{\theta^2}{2}+c_1=
\displaystyle-\frac{\theta}{\tan{\theta}}+\ln|{\sin{\theta}}|-\frac{\theta^2}{2}+c=-\frac{\theta}{\tan{\theta}}+\ln\left|{\tfrac{\tan{\theta}}{\sqrt{1+\tan^2{\theta}}}}\right|-\frac{\theta^2}{2}+c\stackrel{x=\tan{\theta}}{=}
\displaystyle-\frac{\arctan{x}}{x}+\ln\left|{\tfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}\right|-\frac{\arctan^2{x}}{2}+c=
\displaystyle-\frac{\arctan{x}}{x}-\frac{\arctan^2{x}}{2}+\ln\left|{x}\right|-\frac{1}{2}\,\ln\left({1+x^2}\right)+c.\quad\square


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες