Αναγωγικός τύπος

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
giannisn1990
Δημοσιεύσεις: 253
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 11:29 pm
Τοποθεσία: Greece

Αναγωγικός τύπος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannisn1990 » Κυρ Μαρ 29, 2009 6:14 pm

Να δείξετε ότι \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos ^{n}x\,dx=\left\{\begin{matrix}\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot \frac{\pi}{2}, n=2k 
 & \\\ \frac{(n-1)!!}{n!!},\,n=2k+1   
 &  
\end{matrix}\right.


Γιάννης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Αναγωγικός τύπος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Κυρ Μαρ 29, 2009 10:29 pm

καλησπέρα,δεν ξέρω πόσο κοντά έφτασα αλλά κουράστηκα (άσε που όλο και κάτι μπορεί να μου έχει ξεφύγει)

I_{n}=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}cos^{n} x\,dx
-------------------------------------------------------------------
έιναι (sin x.cos^{n} x)^{\prime}=(n+1)\cdot cos^{n+1} x-n\cdot cos^{n-1} x
----------------------------------------------------------
ολοκληρώνοντας απο 0 έως \frac{\pi}{2} έχουμε
-------------------------------------------------
(n+1).I_{n+1}=n\,I_{n-1},\,n\geq 1,(1)
-------------------------------------------------
για n=2\,m-1,(1)--->2m  \,I_{2m}=(2m-1) \,I_{2m-2}
..............

m=1 \Rightarrow 2\cdot I_2=1\cdot I_0=\frac{\pi}{2}

m=2 \rightarrow 4\cdot I_4=3\cdot I_2
.
.
m=m \rightarrow 2m\cdot I_{2m}=(2m-1)\cdot I_{2m-2}
πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη
συμπλήρωσα τα !!

[2.4.6\dots (2m)] I_{2m}=[1 .3 \dots(2m-1)]\cdot I_0 \Rightarrow (2m)!! I_{2m}=(2m-1)!! I_0


άρα I_{n+1}={\frac{n!!}{(n+1)!!}}\frac{\pi}{2}--->I_n=\frac{(n-1)!!}{n!!}}\frac{\pi}{2}
--------------------------

για n=2 m,(1) \rightarrow (2m+1) I_{2m+1}=2m I_{2m-1}

πάλι για m=1,2,...mκαι πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη...... I_1=1,n=2m
(2m+1)!! I_{2m+1}=(2m)!! I_1\rightarrow I_{n}\frac{(n-1)!!}{n!!}
μετά το μήνυμα του Μιχάλη για το !! λέω πως είμαι σωστή
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Δευ Μαρ 30, 2009 10:11 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6885
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Αναγωγικός τύπος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Μαρ 29, 2009 10:52 pm

Έχουμε, με χρήση παραγοντικής ολοκλήρωσης :
\displaystyle{\displaystyle  
I_n  = \int\limits_0^{\frac{\pi } 
{2}} {\cos ^n xdx}  = \left[ {\cos ^{n - 1} \sin x} \right]_0^{\frac{\pi } 
{2}}  + (n - 1)\int\limits_0^{\frac{\pi } 
{2}} {\cos ^{n - 2} \sin ^2 } xdx = (n - 1)\left[ {\int\limits_0^{\frac{\pi } 
{2}} {\cos ^{n - 2} xdx - \int\limits_0^{\frac{\pi } 
{2}} {\cos ^n xdx} } } \right] = (n - 1)I_{n - 2}  - (n - 1)I_n  \Leftrightarrow I_n  = \frac{{n - 1}} 
{n}I_{n - 2}  
}.
α) για n=2k έχουμε :
\displaystyle{\displaystyle  
I_n  = \frac{{2k - 1}} 
{{2k}}I_{n - 2}  = \frac{{2k - 1}} 
{{2k}}\frac{{2k - 3}} 
{{2k - 2}}....\frac{1} 
{2}\int\limits_0^{\frac{\pi } 
{2}} {dx}  = \frac{{\left( {2k - 1} \right)\left( {2k - 3} \right)...1}} 
{{2k\left( {2k - 2} \right)....2}}\frac{\pi } 
{2} 
}

β) Για n=2k+1 :
\displaystyle{\displaystyle  
I_n  = \frac{{2k}} 
{{2k + 1}}I_{n - 2}  = \frac{{2k}} 
{{2k + 1}}\frac{{2k - 2}} 
{{2k - 1}}....\frac{1} 
{2}\int\limits_0^{\frac{\pi } 
{2}} {\cos xdx}  = \frac{{\left( {2k} \right)\left( {2k - 2} \right)...2}} 
{{(2k + 1)\left( {2k - 1} \right)....3}} 
}.
Eλπίζω να μην έχω κάνει λάθος γιατί βαρέθηκα στην πληκτρολόγηση.
Νομίζω πως απο αυτό το ολοκλήρωμα παράγεται ο τύπος του Wallis,απ'όπου και προσεγγίζεται το π/2, ως όριο
μιας ακολουθίας, αυτής των ολοκληρωμάτων που μόλις υπολογίσαμε.
Υ.Γ Γιάννη, ειλικρινά δεν κατάλαβα τι εισί τα διπλά παραγοντικά, στην εκφώνηση.


Χρήστος Κυριαζής
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12435
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Αναγωγικός τύπος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 29, 2009 11:01 pm

chris_gatos έγραψε:Υ.Γ Γιάννη, ειλικρινά δεν κατάλαβα τι εστί τα διπλά παραγοντικά, στην εκφώνηση.
Χρήστο, είναι στάνταρ σύμβολο. Σημαίνει "γινόμενο κάθε δεύτερο όρο".
Π.χ. ενώ 7! = 7.6.5.4.3.2.1, είναι 7!! = 7.5.3.1.
Όμοια (για άρτιο) είναι π.χ. 6!! = 6.4.2

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6885
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Αναγωγικός τύπος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Μαρ 29, 2009 11:05 pm

Να'σαι καλά Μιχάλη, ειλικρινά δεν το γνώριζα...Αλλά αφού είμαι στο mathematica,θα το μάθαινα ήθελα δεν ήθελα!
Λίγα λόγια για τον John Wallis
http://en.wikipedia.org/wiki/John_Wallis


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης