Υπολογισμός του πάχους της μόνωσης του καλωδίου

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

deneb
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Παρ Αύγ 13, 2010 5:01 pm

Υπολογισμός του πάχους της μόνωσης του καλωδίου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από deneb » Σάβ Αύγ 14, 2010 6:31 pm

Βρέθηκε ότι η ταχύτητα μετάδοσης ενός σήματος μέσω ενός καλωδίου είναι ανάλογη μίας ποσότητας η οποία δίνεται από τη συνάρτηση f(x)=e^x/x
όπου x (σε cm) το πάχος της μόνωσης του καλωδίου. Πόσο πρέπει να είναι το πάχος της μόνωσης του καλωδίου έτσι ώστε να εξασφαλίσουμε τη μέγιστη ταχύτητα μετάδοσης του σήματος.

Επίσης η ίδια ακριβώς άσκηση θα πρέπει να λυθεί για f(x)=lnx/x^2

Όποιος έχει ιδέα πώς λύνεται αυτό...ας απαντήσει θα του ήμουν πραγματικά ευγνώμων
Ευχαριστώ



Λέξεις Κλειδιά:
kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Υπολογισμός του πάχους της μόνωσης του καλωδίου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Σάβ Αύγ 14, 2010 7:31 pm

Βάζω μια ιδέα..αν και στην πρώτη περίπτωση βρίσκω ελαχιστοποίηση της ταχύτητας και στη δεύτερη οτι ελαχιστοποείται..ωστόσο :

Η έκφραση ότι η ταχύτητα μετάδοσης του σήματος είναι ανάλογη της f μας παραπέμεπι στο γεγονός ότι άν ονομάσουμε u(x) την ταχύτητα διάδοσης
σε συνάρτηση με το μήκος του καλωδίου θα είναι τότε:

\displaystyle u\left(x \right)=kf\left(x \right)=k\frac{e^{x}}{x},k\epsilon R^{+},x>0

της οποία τώρα βρίσκουμε τα κρίσημα σημεία,αρχικά:

\displaystyle u'\left(x \right)=\left(kf\left(x \right) \right)'=k\frac{e^{x}\left(x-1 \right)}{x},x>0

Kαι:\displaystyle u'\left(x \right)=0\Leftrightarrow x=1.Tώρα εύκολα βλέπουμε πως:
\displaystyle 0<x<1\Rightarrow u'\left(x \right)<0
\displaystyle x>1\Rightarrow u'\left(x \right)>0

Άρα εύκολα βλέπουμε πως:\displaystyle minu\left(x \right)=u\left(1 \right)

Eπομένως στην πρώτη το μέτρο της ταχύτητας διάδοσης του σήματος ελαχιστοποιείται όταν το πάχος του καλωδίου ειναι 1 εκατοστό.

Όμοια και στην δεύτερη περίπτωση:

Eίναι:\displaystyle u\left(x \right)=k\frac{lnx}{x^{2}},k,x>0

με πρώτη παράγωγο:\displaystyle u'\left(x \right)=k\frac{x-2xlnx}{x^{4}}=\frac{1-2lnx}{x^{3}},

\displaystyle u'\left(x \right)=0\Leftrightarrow lnx=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\sqrt{e}

εύκολα προκύπτει πάλι πως η u παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση \displaystyle x=\sqrt{e} στο \left(0,+\infty \right)

Άρα σε αυτή την περίπτωση το μέτρο της ταχύτητας μεγιστοποείται όταν το καλώδιο έχει πάχος x=\sqrt{e}\approx 1,648cm

Φιλικά,
Κώστας
τελευταία επεξεργασία από kwstas12345 σε Σάβ Αύγ 14, 2010 7:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Υπολογισμός του πάχους της μόνωσης του καλωδίου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Σάβ Αύγ 14, 2010 7:37 pm

Aς συμπληρώσω κάτι ακόμα στην άσκηση αυτή...

Σε κάθε μία τις παραπάνω περιπτώσεις να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας διάδοσης του σήματος καθώς το πάχος του καλωδίου αυξάνεται απεριόριστα...



Φιλικά,
Κώστας


Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2481
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Υπολογισμός του πάχους της μόνωσης του καλωδίου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Δευ Αύγ 16, 2010 12:39 pm

deneb έγραψε:Βρέθηκε ότι η ταχύτητα μετάδοσης ενός σήματος μέσω ενός καλωδίου είναι ανάλογη μίας ποσότητας η οποία δίνεται από τη συνάρτηση f(x)=e^x/x
όπου x (σε cm) το πάχος της μόνωσης του καλωδίου. Πόσο πρέπει να είναι το πάχος της μόνωσης του καλωδίου έτσι ώστε να εξασφαλίσουμε τη μέγιστη ταχύτητα μετάδοσης του σήματος.

Επίσης η ίδια ακριβώς άσκηση θα πρέπει να λυθεί για f(x)=lnx/x^2

Όποιος έχει ιδέα πώς λύνεται αυτό...ας απαντήσει θα του ήμουν πραγματικά ευγνώμον
Ευχαριστώ
Η ταχύτητα μετάδοσης του σήματος επηρεάζεται τόσο σημαντικά από τη μόνωση του καλωδίου; Όχι από το ίδιο το καλώδιο; Δηλαδή, δεν συνεξαρτώνται αυτά τα τρία στοιχεία;


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης