int_0^+oo [sin(1/x^2)]

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2883
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

int_0^+oo [sin(1/x^2)]

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Σεπ 09, 2010 7:49 pm

Στήν δημοσίευση: Όμορφο .. αλλά αρκετά ζόρικο γενικευμένο ολοκλήρωμα ο Σεραφείμ απέδειξε -μέ όχι εύκολο τρόπο- ότι

\displaystyle\int_{0}^{\infty}{e^{-{a^2\pi^2x^2}/{2}}\sin\!\left({\tfrac{1}{x^2}}\right)dx}=\frac{\sqrt{2}\,e^{-|{a}|\pi}}{2\,|{a}|\sqrt{\pi}}\,\sin({|{a}|\pi})\,, \quad a\in\mathbb{R}^{*}.

Αποδεικνύεται, επίσης, ότι \displaystyle\int_{0}^{\infty}{\sin\!\left({\tfrac{1}{x^2}}\right)dx}=\frac{\sqrt{2}\,\sqrt{\pi}}{2} . [απόδειξη πού δέν έχω!]

Μπορούμε νά δείξουμε, μέ εύκολο τρόπο, απλώς, τήν (απόλυτη) σύγκλιση τού \displaystyle\int_{0}^{\infty}{\sin\!\left({\tfrac{1}{x^2}}\right)dx} ;


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: int_0^+oo [sin(1/x^2)]

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Σεπ 09, 2010 8:16 pm

Θετοντας u = 1/x το ολοκληρωμα μετατρεπεται στο \displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin u^2}{u^2} du. Η συναρτηση τωρα ειναι προφανως απολυτα ολοκληρωσιμη (αφου ειναι συνεχης με πεπερασμενο οριο στο 0 και απολυτως μικροτερη της ολοκληρωσιμης 1/u^2 στο απειρο).

Δεν ειναι ιδιαιτερα δυσκολη η αποδειξη της τιμης του ολοκληρωματος - παραπεμπω στη λυση μου στο Ομορφο γενικευμενο ολοκληρωμα. Με αναλογο τροπο βρισκεται και αυτο, αρκει να βρεθει το καταλληλο μονοπατι στο μιγαδικο επιπεδο που θα...εξημερωσει το αγριο \displaystyle \sin \frac{1}{x^2}. ;)

Δημητρης Σκουτερης


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: int_0^+oo [sin(1/x^2)]

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Πέμ Σεπ 09, 2010 8:47 pm

:clap2: :clap2: Χωρίς Μιγαδική Ανάλυση.

\displaystyle{\mathbf{\int\limits_0^\infty  {\sin \left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right) \cdot dx}  = \mathop  = \limits^\big{{\dfrac{1}{{{x^2}}} = u}}  = \frac{1}{2} \cdot \int\limits_0^\infty  {\frac{{\sin \left( u \right)}}{{u \cdot \sqrt u }} \cdot du}  = \frac{1}{{2 \cdot \Gamma \left( {3/2} \right)}} \cdot \int\limits_0^\infty  {\sin \left( u \right) \cdot \dfrac{{\Gamma \left( {3/2} \right)}}{{{u^{3/2}}}} \cdot du}  = }}

\displaystyle{\mathbf{ = \frac{1}{{\sqrt \pi  }} \cdot \int\limits_0^\infty  {\sin \left( u \right) \cdot \left( {\int\limits_0^\infty  {\sqrt y  \cdot {e^\big{{ - y \cdot u}}} \cdot dy} } \right) \cdot du}  = \frac{1}{{\sqrt \pi  }} \cdot \int\limits_0^\infty  {\sqrt y  \cdot \left( {\int\limits_0^\infty  {\sin \left( u \right) \cdot {e^\big{{ - y \cdot u}}} \cdot du} } \right) \cdot dy}  = }}

\displaystyle{\mathbf{ = \frac{1}{{\sqrt \pi  }} \cdot \int\limits_0^\infty  {\frac{{\sqrt y }}{{1 + {y^2}}} \cdot dy}  = \mathop  = \limits^\big{{{y^2} = x}}  = \frac{1}{{2 \cdot \sqrt \pi  }} \cdot \int\limits_0^\infty  {\frac{{{x^{ - 1/4}}}}{{1 + x}} \cdot dx}  = \frac{1}{{2 \cdot \sqrt \pi  }} \cdot \int\limits_0^\infty  {{x^{ - 1/4}} \cdot \left( {\int\limits_0^\infty  {{e^\big{{ - \left( {x + 1} \right) \cdot u}}} \cdot du} } \right) \cdot dx = }} }

\displaystyle{\mathbf{ = \frac{1}{{2 \cdot \sqrt \pi  }} \cdot \int\limits_0^\infty  {{e^{ - u}} \cdot \left( {\int\limits_0^\infty  {{x^{ - 1/4}} \cdot {e^\big{{ - x \cdot u}}} \cdot dx} } \right) \cdot du}  = \frac{{\Gamma \left( {3/4} \right)}}{{2 \cdot \sqrt \pi  }} \cdot \int\limits_0^\infty  {{u^{ - 3/4}} \cdot {e^\big{{ - u}}} \cdot du}  = \frac{{\Gamma \left( {1/4} \right) \cdot \Gamma \left( {3/4} \right)}}{{2 \cdot \sqrt \pi  }} = }}

\displaystyle{\mathbf{ = \frac{1}{{2 \cdot \sqrt \pi  }} \cdot \frac{\pi }{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)}} = \frac{{\sqrt \pi  }}{{\sqrt 2 }}}}


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2883
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: int_0^+oo [sin(1/x^2)]

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Σεπ 09, 2010 8:58 pm

Μετά τόν "καταιγισμό" [απαντήσεις σέ διάστημα μικρότερο τών 60' ! ] τών συναδέλφων πού υπερκάλυψαν τό θέμα μέ εξαιρετικό τρόπο, εννοώ νά τούς ευχαριστήσω καί νά τούς ευχηθώ "καλό χειμώνα", παρά νά παραθέσω ακόμα μιά σύντομη απόδειξη τής απόλυτης σύγκλισης τού συγκεκριμένου ολοκληρώματος.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: int_0^+oo [sin(1/x^2)]

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Παρ Σεπ 10, 2010 10:52 am

Χαριν πληροτητας δινω και τη λυση με μιγαδικη αναλυση.

Παιρνουμε το ολοκληρωμα της συναρτησης \displaystyle \frac{e^{iz^2}}{z^2} :

1. Στον πραγματικο αξονα απο \epsilon ως M.
2. Στον κυκλο |z| = M απο 0 ως \pi / 4.
3. Στην ημιευθεια Arg z = \pi / 4 απο |z| = M ως |z| = \epsilon.
4. Στον κυκλο |z| = \epsilon απο \pi / 4 ως 0.

Εχουμε

\displaystyle \int_\epsilon^M \frac{e^{ix^2}}{x^2} dx + \int_0^{\pi/4} \frac{e^{i M^2 e^{2i \theta}}}{M e^{i \theta}} i d \theta + \int_M^\epsilon \frac{e^{-x^2}}{i x^2} e^{i \pi / 4} dx + \int_{\pi/4}^0 \frac{e^{i \epsilon ^2 e^{2i \theta}}}{\epsilon e^{i \theta}} i d \theta = 0.

Παιρνοντας φανταστικα μερη και M \to \infty εχουμε

\displaystyle \int_\epsilon^\infty \frac{\sin x^2}{x^2} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\epsilon} - \int_\epsilon^\infty \frac{e^{-x^2}}{x^2} dx \right) + O (\epsilon)

του οποιου το οριο για \epsilon \to 0 ειναι \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^\infty \frac{1 - e^{-x^2}}{x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}} (με ολοκληρωση κατα μερη).

Δημητρης Σκουτερης


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης