μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 69

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 69

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Κυρ Σεπ 19, 2010 1:11 am

Να υπολογίσετε την διαφορά
\displaystyle{\pi  - \int\limits_0^\infty  {\frac{{\cos x - \cos 3x}}{{{x^2}}}} dx}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 69

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Κυρ Σεπ 19, 2010 4:37 pm

\displaystyle{\int\limits_0^\infty  {\frac{{\cos \left( x \right) - \cos \left( {3 \cdot x} \right)}}{{{x^2}}} \cdot dx}  = \int\limits_0^\infty  {\left( {\cos \left( x \right) - \cos \left( {3 \cdot x} \right)} \right) \cdot \left( {\int\limits_0^\infty  {u \cdot {e^{ - ux}} \cdot du} } \right) \cdot dx}  = }

\displaystyle{ = \int\limits_0^\infty  {u \cdot \left( {\int\limits_0^\infty  {\left( {\cos \left( x \right) - \cos \left( {3 \cdot x} \right)} \right) \cdot {e^\big{{ - u \cdot x}}} \cdot dx} } \right) \cdot du}  = \int\limits_0^\infty  {\left( {\frac{{{u^2}}}{{{u^2} + 1}} - \frac{{{u^2}}}{{{u^2} + 9}}} \right) \cdot du}  = }

\displaystyle{ = \int\limits_0^\infty  {\left( {\frac{{{u^2} + 1 - 1}}{{{u^2} + 1}} - \frac{{{u^2} + 9 - 9}}{{{u^2} + 9}}} \right) \cdot du}  = 9 \cdot \int\limits_0^\infty  {\frac{1}{{{u^2} + 9}} \cdot du}  - \int\limits_0^\infty  {\frac{1}{{{u^2} + 1}} \cdot du}  = }

\displaystyle{ = 3 \cdot \int\limits_0^\infty  {\frac{1}{{{{\left( {\dfrac{u}{3}} \right)}^2} + 1}} \cdot d\left( {\dfrac{u}{3}} \right)}  - \int\limits_0^\infty  {\frac{1}{{{u^2} + 1}} \cdot du}  = \frac{{3 \cdot \pi }}{2} - \frac{\pi }{2} = \pi  \Rightarrow  }

\displaystyle{ \Rightarrow \pi  - \int\limits_0^\infty  {\frac{{\cos \left( x \right) - \cos \left( {3 \cdot x} \right)}}{{{x^2}}} \cdot dx}  = 0}
τελευταία επεξεργασία από Σεραφείμ σε Σάβ Οκτ 02, 2010 7:19 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 69

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Κυρ Σεπ 19, 2010 5:01 pm

Αλλιώς :

\displaystyle{-\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos x-\cos3x}{x^2}\,dx=-\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}\int_{1}^{3}x\sin(yx)\,dy\,dx=-\int_{0}^{+\infty}\int_{1}^{3}\frac{\sin(yx)}{x}\,dy\,dx=-\int_{1}^{3}y\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(yx)}{yx}\,dx\,dy\stackrel{yx=u}{=}}

\displaystyle{-\int_{1}^{3}\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin u}{u}\,du\,dy=-2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi}.

Άρα το ζητούμενο είναι 0.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 69

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Κυρ Σεπ 19, 2010 5:12 pm

Μπορεί να υπολογιστεί και με χρήση ενός πολύ όμορφου τύπου : \displaystyle{\int\limits_0^\infty  {\frac{{1 - \cos \left( x \right)}}{{{x^2}}} \cdot {e^\big{{ - a \cdot x}}} \cdot dx}  = \arctan \left( {\frac{1}{a}} \right) - a \cdot \ln \left( {\frac{{\sqrt {{a^2} + 1} }}{a}} \right)} που τον αφήνω .. σαν άσκηση

\displaystyle{a>0} .. αλλά ισχύει και για \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ + }} }


Σεραφείμ Τσιπέλης
Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 69

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Σάβ Οκτ 02, 2010 1:50 pm

Σεραφείμ στην παραπάνω λύση στο δεύτερο βήμα νομίζω ξέφυγε κάτι, το ξαναγράφω για να φανεί.

\displaystyle{\bf \int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(x)-\cos(3x)}{x^2}\;\texttt{d}t=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}u\texttt{e}^{-ux}(\cos(x)-\cos(3x))\;\texttt{d}u\;\texttt{d}x \;{\color{red}(\dagger)}=\int_{0}^{+\infty}u\left(\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(x)}{\texttt{e}^{ux}}-\frac{\cos(3x)}{\texttt{e}^{ux}}\;\texttt{d}x\right)\;\texttt{d}u=}

\displaystyle{\bf \int_{0}^{+\infty} u(\mathfrak{L}\{\cos(u)\}-\mathfrak{L}\{\cos(3u)\})\;\texttt{d}u=\int_{0}^{+\infty} \frac{u^2}{1+u^2}-\frac{u^2}{9+u^2}\;\texttt{d}u=3\arctan\left(\frac{u}{3}\right)-\arctan(u)\Big|_{0}^{+\infty}=\pi}.


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 69

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Σάβ Οκτ 02, 2010 7:19 pm

Σ' ευχαριστώ Γιώργο, διορθώθηκε.


Σεραφείμ Τσιπέλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης