Θεωρητικές στη σύγκλιση γενικευμένου ολοκληρώματος (2)

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Θεωρητικές στη σύγκλιση γενικευμένου ολοκληρώματος (2)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Κυρ Σεπ 19, 2010 4:04 pm

\displaystyle{1)} Έστω \displaystyle{f(x):[0,1]\to\mathbb{R}} ολοκληρώσιμη με \displaystyle{\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}=\ell\in\mathbb{R}}.

Ας δειχθεί ότι \displaystyle{\lim_{n\to+\infty}n\int_{0}^{1}f(x^{n})\,dx=\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{x}\,dx}.

****************************************************************************************

\displaystyle{2)} Έστω \displaystyle{f:[1,+\infty]\to\mathbb{R}} συνεχής \displaystyle{\lim_{x\to+\infty}x\cdot f(x)=\ell\in\mathbb{R}}.

\displaystyle{i)} Ας δειχθεί ότι το \displaystyle{\lim_{t\to+\infty}\int_{1}^{t}\frac{f(x)}{x}\,dx} υπάρχει και ότι

\displaystyle{ii)} \displaystyle{\lim_{n\to+\infty}n\int_{1}^{a}f(x^{n})\,dx=\lim_{t\to+\infty}\int_{1}^{t}\frac{f(x)}{x}\,dx} για οποιοδήποτε \displaystyle{a>1}.

([color=#0000FF]Για το \displaystyle{\color{blue}2)} \displaystyle{\color{blue}ii)} δεν έχω λύση[/color])


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12415
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Θεωρητικές στη σύγκλιση γενικευμένου ολοκληρώματος (2)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Σεπ 19, 2010 8:43 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: \displaystyle{ii)} \displaystyle{\lim_{n\to+\infty}n\int_{1}^{a}f(x^{n})\,dx=\lim_{t\to+\infty}\int_{1}^{t}\frac{f(x)}{x}\,dx} για οποιοδήποτε \displaystyle{a>1}.

(Για το \displaystyle{\color{blue}2)} \displaystyle{\color{blue}ii)} δεν έχω λύση)
Πάρα πολύ ενδιαφέρουσα άσκηση. Γράφω μόνο το τελευταίο τμήμα, το 2)ii)

Η αντικατάσταση x^n = y στο αριστερό ολοκλήρωμα το μετατρέπει στο
\int_1^{a^n} y^{1/n} \frac{f(y)}{y}dy = \int_1^{\infty} \chi _{[1,a^n]}y^{1/n} \frac{f(y)}{y}dy,

όπου \chi _{[1,a^n]} η χαρακτηριστική του διαστήματος [1,a^n]. Το ζητούμενο τώρα έπεται από το θεώρημα κυριαρχιμένης σύγκλισης, αφού \chi _{[1,a^n]}y^{1/n} \frac{f(y)}{y}\rightarrow \frac{f(y)}{y}.

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Θεωρητικές στη σύγκλιση γενικευμένου ολοκληρώματος (2)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τρί Σεπ 21, 2010 2:45 pm

Χμμ. Αυτό το κολπάκι με τη χαρακτηριστική το είχα ξεχάσει. Απλοποιεί πολύ την κατάσταση!

Παραμένουν προς απάντηση τα υπόλοιπα.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Θεωρητικές στη σύγκλιση γενικευμένου ολοκληρώματος (2)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τρί Σεπ 21, 2010 3:03 pm

Να σημειώσουμε επίσης ότι επειδή έχουμε ολοκλήρωμα Riemann για να εφαρμοστεί το παραπάνω στο 2) ιι) θέλουμε

το \displaystyle{\int_1^{\infty} \chi _{[1,a^n]}y^{1/n} \frac{f(y)}{y}dy} να συγκλίνει ομοιόμορφα στο \mathbb{N} και
\displaystyle{\chi _{[1,a^n]}y^{1/n} \frac{f(y)}{y}\rightarrow \frac{f(y)}{y}} ομοιόμορφα σε κάθε πεπερασμένο διάστημα \displaystyle{[1,k]}.

Βλ. Nowak III p.37.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12415
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Θεωρητικές στη σύγκλιση γενικευμένου ολοκληρώματος (2)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Σεπ 21, 2010 6:00 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Να σημειώσουμε επίσης ότι επειδή έχουμε ολοκλήρωμα Riemann για να εφαρμοστεί το παραπάνω στο 2) ιι) θέλουμε

το \displaystyle{\int_1^{\infty} \chi _{[1,a^n]}y^{1/n} \frac{f(y)}{y}dy} να συγκλίνει ομοιόμορφα

Αναστάση, δεν χρειάζεται όλη η δύναμη της ομοιόμορφης σύγκλισης: Επειδή οι Riemann ολοκληρώσιμες είναι και Lebesgue με το ίδιο ολοκλήρωμα, αρκεί η κατα σημείο σύκλιση δεδομένου ότι είναι κυριαρχημένη.

Φιλικά,

Μ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες