βραδυνό ολοκλήρωμα 101

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

βραδυνό ολοκλήρωμα 101

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Οκτ 04, 2010 11:01 pm

Να υπολογίσετε το (εφόσον υπάρχει)
\displaystyle{ \int_{-1}^{1}\frac{e^{2x}+1-(x+1)(e^{x}+e^{-x})}{x(e^{x}-1)}dx }


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 101

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τρί Οκτ 05, 2010 12:08 am

Τακτοποίηση της συνάρτησης .. \displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{{e^{2 \cdot x}} + 1 - \left( {x + 1} \right) \cdot \left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}}{{x \cdot \left( {{e^x} - 1} \right)}} = \frac{{{e^x} \cdot \left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right) - \left( {x + 1} \right) \cdot \left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}}{{x \cdot \left( {{e^x} - 1} \right)}} = \frac{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right) \cdot \left( {{e^x} - x - 1} \right)}}{{x \cdot \left( {{e^x} - 1} \right)}}}

\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {f\left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right) \cdot \left( {{e^x} - x - 1} \right)}}{{x \cdot \left( {{e^x} - 1} \right)}} = \mathop  = \limits^{\left( {\dfrac{0}{0}} \right)}  = 2 \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{{x \cdot {e^x} + {e^x} - 1}} = \mathop  = \limits^{\left( {\dfrac{0}{0}} \right)}  = 2 \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x}}}{{x \cdot {e^x} + 2 \cdot {e^x}}} = 1}

Επομένως η συνάρτηση \displaystyle{g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {f\left( x \right),{\text{  }}x \in \left[ { - 1,1} \right] - \left\{ 0 \right\}}  \\  
   {1,{\text{  }}x = 0}  \\  
\end{array} } \right.} είναι συνεχής στο \displaystyle{\left[ { - 1,1} \right]} οπότε υπάρχουν τα ολοκληρώματα
\displaystyle{\int\limits_{ - 1}^1 {g\left( x \right) \cdot dx} ,{\text{  }}\int\limits_{ - 1}^0 {g\left( x \right) \cdot dx} ,{\text{  }}\int\limits_0^1 {g\left( x \right) \cdot dx} }, καθώς και τα αντίστοιχα της συνάρτησης \displaystyle{f\left( x \right)}.

\displaystyle{\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right) \cdot dx}  = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right) \cdot \left( {{e^x} - x - 1} \right)}}{{x \cdot \left( {{e^x} - 1} \right)}} \cdot dx}  - \int\limits_0^{ - 1} {\frac{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right) \cdot \left( {{e^x} - x - 1} \right)}}{{x \cdot \left( {{e^x} - 1} \right)}} \cdot dx}  = }

\displaystyle{ = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right) \cdot \left( {{e^x} - x - 1} \right)}}{{x \cdot \left( {{e^x} - 1} \right)}} \cdot dx}  + \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{e^{ - x}} + {e^x}} \right) \cdot \left( {{e^{ - x}} + x - 1} \right)}}{{ - x \cdot \left( {{e^{ - x}} - 1} \right)}} \cdot dx}  = }

\displaystyle{ = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right) \cdot \left( {{e^x} - x - 1} \right)}}{{x \cdot \left( {{e^x} - 1} \right)}} \cdot dx}  + \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{e^{ - x}} + {e^x}} \right) \cdot \left( {1 + x \cdot {e^x} - {e^x}} \right)}}{{x \cdot \left( {{e^x} - 1} \right)}} \cdot dx}  = }

\displaystyle{ = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right) \cdot x \cdot \left( {{e^x} - 1} \right)}}{{x \cdot \left( {{e^x} - 1} \right)}} \cdot dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right) \cdot dx}  = e - \frac{1}{e}}


Σεραφείμ Τσιπέλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης