Μελέτη Συνάρτησης.

Ωmega Man · #1

Να μελετηθεί η συνάρτηση $\displaystyle{\bf f(x)=\arcsin\left(\frac{2x+3}{5}\right)+2\arctan\left(\sqrt{\frac{1-x}{4+x}}\right)}$ ως προς το πεδίο ορισμού και την μονοτονία στους πραγματικούς αριθμούς.Είναι σταθερή;

#2

Για το πεδίο ορισμού πρέπει $\displaystyle{ - 1 \leqslant \frac{{2 \cdot x + 3}}{5} \leqslant 1}$ , $\displaystyle{\frac{{1 - x}}{{4 + x}} \geqslant 0}$ και $\displaystyle{x \ne - 4}$ που οδηγεί στο διάστημα $\displaystyle{x \in \left( { - 4,1} \right]}$ .

Τότε $\displaystyle{2 \cdot arctan\left( {\sqrt {\frac{{1 - x}}{{4 + x}}} } \right) = y \Rightarrow \sqrt {\frac{{1 - x}}{{4 + x}}} = \tan \left( {\frac{y}{2}} \right) \Rightarrow \frac{{1 - x}}{{4 + x}} = {\tan ^2}\left( {\frac{y}{2}} \right) \Rightarrow \frac{{1 - x}}{5} = {\sin ^2}\left( {\frac{y}{2}} \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \frac{{2 \cdot x + 3}}{5} = 1 - 2 \cdot {\sin ^2}\left( {\frac{y}{2}} \right) = \cos \left( y \right) \Rightarrow y = \arccos \left( {\frac{{2 \cdot x + 3}}{5}} \right)}$

δηλαδή $\displaystyle{2 \cdot arctan\left( {\sqrt {\frac{{1 - x}}{{4 + x}}} } \right) = \arccos \left( {\frac{{2 \cdot x + 3}}{5}} \right) = \frac{\pi }{2} - \arcsin \left( {\frac{{2 \cdot x + 3}}{5}} \right)}$

Τελικά $\displaystyle{f\left( x \right) = \arcsin \left( {\frac{{2 \cdot x + 3}}{5}} \right) + 2 \cdot arctan\left( {\sqrt {\frac{{1 - x}}{{4 + x}}} } \right) = \frac{\pi }{2}}$ (σταθερή).

Ωmega Man · #3

Σεραφείμ μπράβο, το έλυσες χωρίς να εμπλακείς με παραγώγους.

Μελέτη Συνάρτησης.

Μελέτη Συνάρτησης.

Re: Μελέτη Συνάρτησης.

Re: Μελέτη Συνάρτησης.

Μέλη σε σύνδεση