Όριο γινομένου (6)

#1

Ας υπολογισθεί, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\prod_{k=1}^{n}(1+a_{k})}$ , όπου η $\displaystyle{\{a_{n}\}}$ είναι ακολουθία θετικών αριθμών με άπειρους όρους πάνω από 1/2

.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Για την ακολουθία $\displaystyle{{\left\{ {{a_\big{n}}} \right\}_{n = 1,2,..}}}$ ισχύει $\displaystyle{{a_\big{n}} > 0}$ και υπάρχει υπακολουθία $\displaystyle{{\left\{ {{a_\big{{{k_n}}}}} \right\}_{k = 1,2,..}}}$ ώστε $\displaystyle{{a_\big{{{k_n}}}} > \frac{1}{2}}$ .

Τότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {1 + {a_\big{k}}} \right)} = \prod\limits_{n = 1}^\infty {\left( {1 + {a_\big{n}}} \right)} \geqslant \prod\limits_{k = 1}^\infty {\left( {1 + {a_\big{{{n_k}}}}} \right)} \geqslant \prod\limits_{k = 1}^\infty {\left( {\frac{3}{2}} \right)} = + \infty }$

Όριο γινομένου (6)

Όριο γινομένου (6)

Re: Όριο γινομένου (6)

Μέλη σε σύνδεση