Ολοκληρωματάκι

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Ολοκληρωματάκι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Παρ Απρ 10, 2009 2:11 am

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα : \displaystyle\int\frac{x^{2}e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2883
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ολοκληρωματάκι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Απρ 10, 2009 7:45 am

Γιά τό "ολοκληρωματάκι" δέν βρήκα κάτι καλύτερο από τήν μετατροπή:

Θέτωντας x=\tan{\theta}, προκύπτουν \sqrt{1+x^{2}}=\dfrac{1}{\cos{\theta}} καί dx=\dfrac{1}{\cos^2{\theta}}\,d\theta.

Επομένως \displaystyle\int{\frac{x^{2}\,e^{\arctan{x}}}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx}=\int{\frac{\sin^2{\theta}\,e^{\theta}}{\cos^3{\theta}}\,d\theta} .


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρωματάκι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Σάβ Απρ 11, 2009 3:03 pm

Το ολοκλήρωμα αυτό είχε τεθεί στη ρουμάνικη μαθηματκή ολυμπιάδα το 1975 και υπάρχει στο βιβλίο του Ρασσιά Μαθηματική Αναλυση Ι β' τεύχος. Η λύση του έχει ως εξής : (δεν ξέρω αν λύνεται με κάποιο πιο εύκολο τρόπο)
Έστω I=\displaystyle\int\frac{x^{2}e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^{2}}}\, dx\,\,\,\,\,\,\,I_{1}=\displaystyle\int\frac{e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^{2}}}\, dx\,\,\,\,\,\,\,I_{2}=\displaystyle\int\frac{xe^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^{2}}}\, dx.
Έχουμε :
I_{1}=\displaystyle\int\frac{\sqrt{1+x^{2}}e^{\arctan x}}{1+x^{2}}\, dx=\displaystyle\int\sqrt{1+x^{2}}(e^{\arctan x})^{\prime}=\\ \sqrt{1+x^{2}}e^{\arctan x}-\displaystyle\int\frac{xe^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^{2}}}\, dx=\sqrt{1+x^{2}}e^{\arctan x}-I_{2}.
Άρα
I_{1}+I_{2}=\sqrt{1+x^{2}}e^{\arctan x}.
Ακόμα
I_{2}=\displaystyle\int\frac{xe^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^{2}}}\, dx=\displaystyle\int\frac{x\sqrt{1+x^{2}}e^{\arctan x}}{1+x^{2}}\, dx=\displaystyle\int x\sqrt{1+x^{2}}(e^{\arctan x})^{\prime}\, dx=x\sqrt{1+x^{2}}e^{\arctan x}-I_{1}-2\displaystyle\int\frac{x^{2}e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^{2}}}\, dx
άρα I=\displaystyle\frac{x\sqrt{1+x^{2}}e^{\arctan x}-(I_{1}+I_{2})}{2}=\frac{x\sqrt{1+x^{2}}e^{\arctan x}-\sqrt{1+x^{2}}e^{\arctan x}}{2},
συνεπώς I=\displaystyle\frac{(x-1)\sqrt{1+x^{2}}e^{\arctan x}}{2}+c.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης