Πιθανότητες-Στατιστική

kimjonarfib · #1

Γεια σας

Μια ερώτηση θα ήθελα να κάνω. Το θεώρημα μεγάλων αριθμών υποστηρίζει ότι καθώς αυξάνονται οι φορές που διεξάγεται ένα τυχαίο πείραμα, είναι πιο ΠΙΘΑΝΟ(και όχι σίγουρο) τα αποτελέσματα να προσεγγίζουν τις θεωρητικές πιθανότητες για αυτά;

Δηλαδή αν πετάξουμε ένα αμερόληπτο ζάρι 2000000000000000000000000 φορές, το πλήθος των άσων είναι πιθανότερο να προσεγγίζει το 1/6 του πλήθους των ρίψεων.

Σας ευζαριστώ

#2

Καλησπέρα. Δες στο σχολικό βιβλίο Γενικής Παιδείας (που θα πάψει να διδάσκεται από το επόμενο έτος, άρα οι μαθητές δεν θα διδαχτούν ποτέ Στατιστική και Πιθανότητες, αφού προφανώς είναι άχρηστες). σσ. 147-148.

Επίσης, εδώ στο παλαιότερο βιβλίο όταν διδάσκονταν και Άλγεβρα στη Γ΄ Λυκείου, έχει ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα μη αμερόληπτου ζαριού.

: Πιθανότητες.jpg (144.01 KiB) Προβλήθηκε 2534 φορές

kimjonarfib · #3

Έτσι και επαναλάβουμε όμως το πείραμα,επειδή η κάθε ρίψη είναι ανεξάρτητη από τις προηγούμενες μπορεί να διαπιστωθεί ότι κάθε ενδεχόμενο του πειράματος προσεγγίζει διαφορετική τιμή από αυτή που προσέγγισε στο προηγούμενο πείραμα.Επομένως το μέτρο προσδοκίας με την οποία περιμένουμε το Α για παράδειγμα αλλάζει;

Ευχαριστώ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Όλα τα παραπάνω δεν είναι Μαθηματικά.
Αντε να τα χαρακτηρίσουμε πειραματικά Μαθηματικά.
Περισσότερα το βράδυ.

Λάμπρος Κατσάπας · #5

kimjonarfib έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 09, 2018 9:12 pm
Γεια σας

Μια ερώτηση θα ήθελα να κάνω. Το θεώρημα μεγάλων αριθμών υποστηρίζει ότι καθώς αυξάνονται οι φορές που διεξάγεται ένα τυχαίο πείραμα, είναι πιο ΠΙΘΑΝΟ(και όχι σίγουρο) τα αποτελέσματα να προσεγγίζουν τις θεωρητικές πιθανότητες για αυτά;

Δηλαδή αν πετάξουμε ένα αμερόληπτο ζάρι 2000000000000000000000000 φορές, το πλήθος των άσων είναι πιθανότερο να προσεγγίζει το 1/6 του πλήθους των ρίψεων.

Σας ευζαριστώ

Καλησπέρα. Υπάρχουν δυο εκδοχές του Νόμου των Μεγάλων Αριθμών (Law of Large Numbers). Στην πρώτη εκδοχή (ασθενής

νόμος-ασθενής σύγκλιση) έχουμε ότι η πιθανότητα το δειγματικό ποσοστό των άσσων να απέχει μια (οποιαδήποτε) σταθερή

και θετική ποσότητα από τη θεωρητική πιθανότητα εμφάνισης άσσου τείνει στο

όταν το πλήθος των

ρίψεων τείνει το άπειρο. Λιγότερο αυστηρά μπορούμε να πούμε ότι για μεγάλο πλήθος ρίψεων η πιθανότητα το δειγματικό

ποσοστό των άσσων να είναι κοντά στη θεωρητική πιθανότητα εμφάνισης άσσου είναι κοντά στη μονάδα. Στη δεύτερη εκδοχή

(ισχυρός νόμος-ισχυρή σύγκλιση )έχουμε ότι η πιθανότητα το δειγματικό ποσοστό των άσσων να συγκλίνει στη θεωρητική

πιθανότητα εμφάνισης άσσου είναι ίση με τη μονάδα. Να σημειώσω ότι η ισχυρή σύγκλιση συνεπάγεται την ασθενή.

kimjonarfib · #6

Η ισχυρή σύγκλιση για πεπερασμένο αριθμό δοκιμών αποδεικνύεται;Αφού με ποιο τρόπο μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι ένα νόμισμα μετά από 2000000000 (για παράδειγμα) ρίψεις θα φέρει τουλάχιστον μία φορά γράμματα;Έτσι από 100% κορώνες θα παραμένουμε πάντα στο 100% και δεν θα συγκλίνει ποτέ στο 1/2(ακραίο παράδειγμα). Όσον αφορά τον ασθενή θεωρώ ότι τον καταλαβαίνω.

Ευχαριστώ

Λάμπρος Κατσάπας · #7

kimjonarfib έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 10, 2018 10:11 pm
Η ισχυρή σύγκλιση για πεπερασμένο αριθμό δοκιμών αποδεικνύεται;

Σύγκλιση και πεπερασμένος αριθμός δοκιμών είναι αντιφατικά πράγματα. Για να μιλήσεις για σύγκλιση πρέπει να αφήσεις

το πλήθος των δοκιμών να πάει στο άπειρο.

kimjonarfib έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 10, 2018 10:11 pm
με ποιο τρόπο μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι ένα νόμισμα μετά από 2000000000 (για παράδειγμα) ρίψεις θα φέρει τουλάχιστον μία φορά γράμματα;

Δεν θα φέρει απαραίτητα τουλάχιστον μία φορά γράμματα. Απλά η πιθανότητα να φέρει είναι πολύ κοντά στο

Συγκεκριμένα είναι $1-\frac{1}{2^{ 2000000000}}.$

kimjonarfib έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 10, 2018 10:11 pm
Έτσι από 100% κορώνες θα παραμένουμε πάντα στο 100% και δεν θα συγκλίνει ποτέ στο 1/2(ακραίο παράδειγμα).

Στο $\frac{1}{6}$ εννοείς αφού έχουμε ζάρι και όχι κέρμα. Η ισχυρή σύγκλιση σου λέει ότι τα ενδεχόμενα για τα

οποία το δειγματικό ποσοστό των άσσων δεν συγκλίνει στη θεωρητική πιθανότητα $\frac{1}{6}$

π.χ. ένα τέτοιο είναι να έρχονται πάντα 2,3,...,6

, έχουν πιθανότητα

(όχι περίπου

). Δεν σου λέει ότι δεν

υπάρχουν αυτά τα ενδεχόμενα. Απλά έχουν μέτρο πιθανότητας

. Πιθανότητα ενδεχομένου

δεν σημαίνει αδύνατο

ενδεχόμενο (κενό σύνολο). Το αντίστροφο ισχύει. Ελπίζω να σε βοήθησα.

Υ.Γ. Είναι απαραίτητη μια εισαγωγή σε θεωρία μέτρου πριν πας να μελετήσεις μετροθεωρητική πιθανότητα.

Για να κατανοήσεις καλά τους δύο τρόπους σύγκλισης που ανέφερα σε πρώτη φάση καλό είναι να αναρωτηθείς γιατί η

κλασική σύγκλιση που μελετάμε στο Calculus δεν μπορεί να λειτουργήσει εδώ.

kimjonarfib · #8

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 10, 2018 10:36 pm

kimjonarfib έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 10, 2018 10:11 pm
Η ισχυρή σύγκλιση για πεπερασμένο αριθμό δοκιμών αποδεικνύεται;
Σύγκλιση και πεπερασμένος αριθμός δοκιμών είναι αντιφατικά πράγματα. Για να μιλήσεις για σύγκλιση πρέπει να αφήσεις

το πλήθος των δοκιμών να πάει στο άπειρο.

kimjonarfib έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 10, 2018 10:11 pm
με ποιο τρόπο μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι ένα νόμισμα μετά από 2000000000 (για παράδειγμα) ρίψεις θα φέρει τουλάχιστον μία φορά γράμματα;
Δεν θα φέρει απαραίτητα τουλάχιστον μία φορά γράμματα. Απλά η πιθανότητα να φέρει είναι πολύ κοντά στο

Συγκεκριμένα είναι $1-\frac{1}{2^{ 2000000000}}.$

kimjonarfib έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 10, 2018 10:11 pm
Έτσι από 100% κορώνες θα παραμένουμε πάντα στο 100% και δεν θα συγκλίνει ποτέ στο 1/2(ακραίο παράδειγμα).
Στο $\frac{1}{6}$ εννοείς αφού έχουμε ζάρι και όχι κέρμα. Η ισχυρή σύγκλιση σου λέει ότι τα ενδεχόμενα για τα

οποία το δειγματικό ποσοστό των άσσων δεν συγκλίνει στη θεωρητική πιθανότητα $\frac{1}{6}$

π.χ. ένα τέτοιο είναι να έρχονται πάντα , έχουν πιθανότητα (όχι περίπου ). Δεν σου λέει ότι δεν

υπάρχουν αυτά τα ενδεχόμενα. Απλά έχουν μέτρο πιθανότητας . Πιθανότητα ενδεχομένου δεν σημαίνει αδύνατο

ενδεχόμενο (κενό σύνολο). Το αντίστροφο ισχύει. Ελπίζω να σε βοήθησα.

Υ.Γ. Είναι απαραίτητη μια εισαγωγή σε θεωρία μέτρου πριν πας να μελετήσεις μετροθεωρητική πιθανότητα.

Για να κατανοήσεις καλά τους δύο τρόπους σύγκλισης που ανέφερα σε πρώτη φάση καλό είναι να αναρωτηθείς γιατί η

κλασική σύγκλιση που μελετάμε στο Calculus δεν μπορεί να λειτουργήσει εδώ.

Αρχικά ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας

Εντάξει η πιθανότητα ενδεχομένου 0 σημαίνει ότι υπάρχει ως ενδεχόμενο αλλά δεν θα συμβεί.Αυτό γιατί να ισχύει για το συγκεκριμένο παράδειγμα;

Λάμπρος Κατσάπας · #9

kimjonarfib έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 10, 2018 10:59 pm
Αρχικά ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας

Εντάξει η πιθανότητα ενδεχομένου 0 σημαίνει ότι υπάρχει ως ενδεχόμενο αλλά δεν θα συμβεί.Αυτό γιατί να ισχύει για το συγκεκριμένο παράδειγμα;

Δεν λέει δεν θα συμβεί. Η πιθανότητα του είναι

Αυτό ισχύει γιατί μας το εξασφαλίζει ο νόμος των μεγάλων αριθμών.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

Για το κείμενο (φωτογραφία) που ανάρτησε ο Γιώργος Ρίζος.

Γράφει ''Είναι λογικό να δεχθούμε ότι ''
Δεν δεχόμαστε στα Μαθηματικά ότι είναι λογικό (που είναι πολλές φορές υποκειμενικό) αλλά ότι αποδεικνύεται.
Εξαιρούνται τα Αξιώματα.

Μπορείτε να δείτε στο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 47#p302347
την ανάρτηση του Γιώργου Ρίζου όπου και εκεί έχει παραθέσει εικόνα η όποια σωστά τα λέει.

Γράφει ''από τον πίνακα 2 προκύπτει ότι η $f_{A}$ σταθεροποιείται ....''
Δεν είναι βέβαιο ότι αν συνεχίσουμε το πείραμα θα σταθεροποιηθεί.
Το σωστό θα ήταν ότι η πιθανότητα να σταθεροποιηθεί είναι ''κοντα'' στο

.
Η πιθανότητα αυτή μπορεί να εκτιμηθεί.

kimjonarfib έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 09, 2018 9:12 pm
Γεια σας

Μια ερώτηση θα ήθελα να κάνω. Το θεώρημα μεγάλων αριθμών υποστηρίζει ότι καθώς αυξάνονται οι φορές που διεξάγεται ένα τυχαίο πείραμα, είναι πιο ΠΙΘΑΝΟ(και όχι σίγουρο) τα αποτελέσματα να προσεγγίζουν τις θεωρητικές πιθανότητες για αυτά;

Δηλαδή αν πετάξουμε ένα αμερόληπτο ζάρι 2000000000000000000000000 φορές, το πλήθος των άσων είναι πιθανότερο να προσεγγίζει το 1/6 του πλήθους των ρίψεων.

Σας ευζαριστώ

''Το θεώρημα μεγάλων αριθμών υποστηρίζει ''
Μάλλον εννοεί τον Νόμο των μεγάλων αριθμών (ισχυρό η ασθενή)
Δεν υποστηρίζει τίποτα .Είναι ένα θεώρημα της θεωρίας Πιθανοτήτων (θα εξηγήσω παρακάτω τι λέει)
https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers

''είναι πιο ΠΙΘΑΝΟ(και όχι σίγουρο) ''
Είναι πιο πιθανό από τι;

Θα εξηγήσω τι λέει κατά την γνώμη μου ο ασθενής νόμος των μεγάλων αριθμών
με ένα παράδειγμα.

Ας δώσουμε πρώτα την διατύπωση.
Αν $(X_{n})$ ακολουθία ανεξαρτήτων τυχαίων μεταβλητών,που έχουν την ίδια κατανομή με μέση τιμή $\mu$
τότε για $\epsilon > 0$
ισχύει $\lim_{n\rightarrow \infty }P(\left | {\overline{X_{n}}}-\mu \right |\geq \epsilon )=0$

όπου $\overline{X_{n}}=\dfrac{X_{1}+X_{2}+....X_{n}}{n}$

Αν υποθέσουμε ότι η διασπορά υπάρχει και είναι $\sigma ^{2}$ η απόδειξη του παραπάνω είναι απλή
και στηρίζεται στην ανισότητα

$P(\left | {\overline{X_{n}}}-\mu \right |\geq \epsilon )\leq \dfrac{\sigma ^{2}}{\epsilon ^{2}n}$

Αν λοιπόν ρίξουμε ένα ζάρι 60.000

φορές και έχει φέρει

άσσους τότε ( $\epsilon =0,01$ )

η πιθανότητα να είναι $\left | \dfrac{m}{60000}-\dfrac{1}{6} \right |\geq 0,01$

είναι μικρότερη από $\frac{5}{36}\frac{1}{\epsilon ^{2}n}=\frac{5}{216}$

$\sigma ^{2}=\frac{5}{36}$

(η τυχαία μεταβλητή $X_{k}$ παίρνει τιμή

αν στην

ρίψη ήρθε άσσος και

διαφορετικά)

Θεωρητικά το

δηλαδή ο αριθμός των άσσων μπορεί να είναι ότι θέλει αλλά η πιθανότητα να μην βρίσκεται στο διάστημα

(9400,10600)

είναι $\frac{5}{216}$

Να σημειώσω ότι με άλλα θεωρήματα αυτή η πιθανότητα γίνεται μικρότερη.

Λάμπρος Κατσάπας · #11

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 10, 2018 11:09 pm

Γράφει ''από τον πίνακα 2 προκύπτει ότι η $f_{A}$ σταθεροποιείται ....''
Δεν είναι βέβαιο ότι αν συνεχίσουμε το πείραμα θα σταθεροποιηθεί.

Ακριβώς. Εδώ είναι και η αδυναμία της αντίληψης της πιθανότητας ως σχετική συχνότητα. Κανείς δεν μας εγγυάται ότι το όριο

της σχετικής συχνότητας στο συγκεκριμένο πείραμα υπάρχει αλλά και αν υπάρχει θα είναι σε κάθε πείραμα το ίδιο. Βέβαια εδώ

έρχεται ο νόμος των μεγάλων αριθμών για να επιβεβαιώσει αυτό που περιμένουμε διαισθητικά.

kimjonarfib · #12

Ωραία ο ασθενής νόμος των μεγάλων αριθμών λέει ότι καθώς αυξάνονται οι δοκιμές περιορίζεται η πιθανότητα να μην προσεγγίζεται η θεωρητική πιθανότητα ενός ενδεχομένου από το δειγματικό ποσοστό του ενδεχομένου.Ο ισχυρός;

Λάμπρος Κατσάπας · #13

kimjonarfib έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 10, 2018 11:23 pm
Ωραία ο ασθενής νόμος των μεγάλων αριθμών λέει ότι καθώς αυξάνονται οι δοκιμές περιορίζεται η πιθανότητα να μην προσεγγίζεται η θεωρητική πιθανότητα ενός ενδεχομένου από το δειγματικό ποσοστό του ενδεχομένου.Ο ισχυρός;

Σου έγραψα στο πρώτο μου σχόλιο και στο δεύτερο σου έδωσα και μια ερμηνεία.

Πιθανότητες-Στατιστική

Πιθανότητες-Στατιστική

Re: Πιθανότητες-Στατιστική

Re: Πιθανότητες-Στατιστική

Re: Πιθανότητες-Στατιστική

Re: Πιθανότητες-Στατιστική

Re: Πιθανότητες-Στατιστική

Re: Πιθανότητες-Στατιστική

Re: Πιθανότητες-Στατιστική

Re: Πιθανότητες-Στατιστική

Re: Πιθανότητες-Στατιστική

Re: Πιθανότητες-Στατιστική

Re: Πιθανότητες-Στατιστική

Re: Πιθανότητες-Στατιστική

Μέλη σε σύνδεση