Γεωμετρική πιθανότητα
Γεωμετρική πιθανότητα
Επιλέγουμε τυχαία τρεις αριθμούς από το διάστημα .
Ζητείται η πιθανότητα οι αριθμοί αυτοί να είναι τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου.
Ευθύμης
Ζητείται η πιθανότητα οι αριθμοί αυτοί να είναι τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου.
Ευθύμης
Re: Γεωμετρική πιθανότητα
Είναι πολύ κλασσικό, θα το αφήσω για άλλον.
Έγραψα ένα σκριπτάκι σε ματλαμπ (τρέχει και σε οκταβ) που το μοντελοποιεί.
Για ν = 1000 επαναλήψεις θα πάρετε ένα σχήμα όπως το παρακάτω.
Έγραψα ένα σκριπτάκι σε ματλαμπ (τρέχει και σε οκταβ) που το μοντελοποιεί.
Κώδικας: Επιλογή όλων
clc;clear all;
n = input('Enter the number of simulations: ');
is_triangle = 0;
cum_prob_is_triangle = zeros(1,n);
for ii = 1 : n
x = rand();
y = rand();
z = rand();
if x + y < z
is_triangle = is_triangle + 1;
elseif x + z < y
is_triangle = is_triangle + 1;
elseif y + z < x
is_triangle = is_triangle + 1;
end
cum_prob_is_triangle(ii) = is_triangle / ii;
end
p = is_triangle / n;
fprintf('Probability computed from simulation: %.5f\n',p);
xaxis = 1 : n;
figure;
plot(xaxis , cum_prob_is_triangle,'linewidth',2,'color',[0,0.7,0.9]);
hold on;plot([0 n],[1/2,1/2],'linewidth',2.5,'color','red');
axis([0 n 0 1]);
xlabel ('Number Of Simulations');
ylabel ('Cumulative Probability Of Getting A Triangle');
hold off;
What's wrong with a Greek in Hamburg?
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15768
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Γεωμετρική πιθανότητα
Για κάθε τυχαία επιλεγμένη τριάδα κοιτάμε τον πιο μεγάλο, έστω . Mε τα μήκη αυτά μπορούμε να φτιάξουμε τρίγωνο αν και μόνον αν . Στο κατρεσιανό επίπεδο αυτό σημαίνει ότι το σημείο είναι στην γκρι περιοχή η οποία ορίζεται πάνω από την ευθεία . Αντίστροφα, αν το είναι στην λευκή περιοχή του τετραγώνου, τότε δεν φτιάχνουμε τρίγωνο. Αλλά η γκρι περιοχή είναι όσο η λευκή. Άρα η πιθανότητα να φτιάξουμε τρίγωνο είναι . Συμβαίνει το ίδιο για κάθε , οπότε η πιθανότητα είνα τελικά .
- Συνημμένα
-
- pith trig.png (3.53 KiB) Προβλήθηκε 785 φορές
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Γεωμετρική πιθανότητα
Μια εναλλακτική λύση:
Έστω και .
Θα δείξουμε ότι υπάρχει μία ένα προς ένα και επί απεικόνιση , οπότε θα είναι , και αφού τα σύνολα είναι προφανώς μια διαμέριση του (είναι και ), έχουμε ότι η πιθανότητα μια τριάδα να ανήκει στο είναι .
Έστω μία τριάδα , και WLOG . Τότε, ορίζουμε . Είναι προφανώς και , .
Επίσης, είναι , όπου η τελευταία ανισότητα ισχύει διότι . Άρα . Αντίστροφα, έστω μία τριάδα όπου WLOG , τότε προφανώς .
Άρα, υπάρχει ένα προς ένα και επί απεικόνιση , συνεπώς η ζητούμενη πιθανότητα είναι πράγματι .
(Στην πιο πάνω λύση, βέβαια, πρέπει να προσέξουμε την πιθανότητα για μία τριάδα να ισχύει , καθώς τότε , οπότε τα δεν σχηματίζουν τρίγωνο. Δηλαδή μας ενδιαφέρει η πιθανότητα μια τριάδα με τα να ικανοποιεί την .
Αν σταθεροποιήσουμε το , τότε το πείραμα τύχης είναι η επιλογή δύο αριθμών και στο , ώστε . Έστω λοιπόν η μεταβλητή , και θέλουμε την .
Η μεταβλητή παίρνει τιμές στο , επειδή . Αφού όμως η μεταβλητή είναι συνεχής (το είναι υπεραριθμήσιμο), η πιθανότητα ισούται με . Άρα δεν έχουμε πρόβλημα)
Προσθήκη: Η λύση έχει λάθος. Ευχαριστώ τον κ. Μιχάλη για την διόρθωση! Το άπειρο έχει τα παράδοξά του ...
Έστω και .
Θα δείξουμε ότι υπάρχει μία ένα προς ένα και επί απεικόνιση , οπότε θα είναι , και αφού τα σύνολα είναι προφανώς μια διαμέριση του (είναι και ), έχουμε ότι η πιθανότητα μια τριάδα να ανήκει στο είναι .
Έστω μία τριάδα , και WLOG . Τότε, ορίζουμε . Είναι προφανώς και , .
Επίσης, είναι , όπου η τελευταία ανισότητα ισχύει διότι . Άρα . Αντίστροφα, έστω μία τριάδα όπου WLOG , τότε προφανώς .
Άρα, υπάρχει ένα προς ένα και επί απεικόνιση , συνεπώς η ζητούμενη πιθανότητα είναι πράγματι .
(Στην πιο πάνω λύση, βέβαια, πρέπει να προσέξουμε την πιθανότητα για μία τριάδα να ισχύει , καθώς τότε , οπότε τα δεν σχηματίζουν τρίγωνο. Δηλαδή μας ενδιαφέρει η πιθανότητα μια τριάδα με τα να ικανοποιεί την .
Αν σταθεροποιήσουμε το , τότε το πείραμα τύχης είναι η επιλογή δύο αριθμών και στο , ώστε . Έστω λοιπόν η μεταβλητή , και θέλουμε την .
Η μεταβλητή παίρνει τιμές στο , επειδή . Αφού όμως η μεταβλητή είναι συνεχής (το είναι υπεραριθμήσιμο), η πιθανότητα ισούται με . Άρα δεν έχουμε πρόβλημα)
Προσθήκη: Η λύση έχει λάθος. Ευχαριστώ τον κ. Μιχάλη για την διόρθωση! Το άπειρο έχει τα παράδοξά του ...
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης