Στατιστική 2

Α.Κυριακόπουλος · #1

Θεωρούμε ν παρατηρήσεις: $\displaystyle{{t_1},{t_2},...,{t_\nu }}$ με μέση τιμή $\displaystyle{\overline x }$ και τυπική απόκλιση S. Nα αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{\alpha \in R}$ ισχύει:
$\displaystyle{{S^2} \le \frac{{{{\left( {{t_1} - \alpha } \right)}^2} + {{\left( {{t_2} - \alpha } \right)}^2} + ... + {{\left( {{t_\nu } - \alpha } \right)}^2}}}{\nu }}$ ,
με το ίσον αν, και μόνο αν, $\displaystyle{\alpha = \overline x }$ .

#2

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Θεωρούμε ν παρατηρήσεις: $\displaystyle{{t_1},{t_2},...,{t_\nu }}$ με μέση τιμή $\displaystyle{\overline x }$ και τυπική απόκλιση S. Nα αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{\alpha \in R}$ ισχύει:
$\displaystyle{{S^2} \le \frac{{{{\left( {{t_1} - \alpha } \right)}^2} + {{\left( {{t_2} - \alpha } \right)}^2} + ... + {{\left( {{t_\nu } - \alpha } \right)}^2}}}{\nu }}$ ,
με το ίσον αν, και μόνο αν, $\displaystyle{\alpha = \overline x }$ .

ξεκινάμε από το

$\displaystyle{B=\frac{1}{n}\Big[(t_1-a)^2+(t_2-a)^2+...+(t_n-a)^2\Big]}$

$\displaystyle{B=\frac{1}{n}\Big[\sum t_i^2-2a\sum t_i+na^2 \Big]=\frac{1}{n}\Big[ \sum t_i^2-2an\bar x+na^2\Big]}$

$\displaystyle{B=\frac{1}{n}\Big[ \sum t_i^2+n(a^2-2a\bar x)\Big]=\frac{1}{n}\Big[\sum t_i^2+n(a^2-2a\bar x+(\bar x)^2)-n(\bar x)^2\Big]}$

$\displaystyle{B=\frac{1}{n} \sum t_i^2+(a-\bar x)^2-(\bar x)^2\Longrightarrow B=S^2+(a-\bar x)^2\Longrightarrow B\geq S^2}$

με το (=) να ισχύει αν και μόνο αν $a=\bar x$

Στατιστική 2

Στατιστική 2

Re: Στατιστική 2

Μέλη σε σύνδεση