Όμορφη...πιθανότητα

gomichael
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:12 am

Όμορφη...πιθανότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gomichael » Κυρ Απρ 08, 2018 11:29 pm

Να βρεθεί η πιθανότητα ένα τυχόν ρητό κλάσμα να είναι ανάγωγο.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2787
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όμορφη...πιθανότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Απρ 09, 2018 5:47 pm

gomichael έγραψε:
Κυρ Απρ 08, 2018 11:29 pm
Να βρεθεί η πιθανότητα ένα τυχόν ρητό κλάσμα να είναι ανάγωγο.
Το πρόβλημα είναι γνωστό και αποδίδεται στον Chebychev.

σχετικό είναι το άρθρο https://arxiv.org/pdf/1608.05435.pdf

Ας περιγράψω την απόδειξη.

Εστω p πρώτος.

Η πιθανότητα να διαιρεί τον αριθμό a είναι \frac{1}{p}

Η πιθανότητα να διαιρεί τους a,b είναι \frac{1}{p^{2}}

Αρα η πιθανότητα να μην διαιρεί τουλάχιστον ένα από τους δύο είναι 1-\frac{1}{p^{2}}

Ετσι η πιθανότητα οι a,b να μην έχουν κοινό διαιρέτη εκτός του 1(οπότε δεν θα έχουν πρώτο κοινό διαιρέτη)

είναι \prod _{p}(1-\frac{1}{p^{2}})
(το γινόμενο είναι πάνω σε όλους τους πρώτους)

Είναι γνωστό ότι \frac{1}{\prod _{p}(1-\frac{1}{p^{2}})}=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi ^{2}}{6}

Ετσι η ζητούμενη πιθανότητα είναι \frac{6}{\pi ^{2}}


gomichael
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:12 am

Re: Όμορφη...πιθανότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gomichael » Δευ Απρ 09, 2018 8:28 pm

:clap2:
Άμεση και απόλυτα τεκμηριωμένη απάντηση!
Συγχαρητήρια στον συνάδελφο Παπαδόπουλο Σταύρο!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Στατιστική-Πιθανότητες”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης