Σύστημα και μέγιστο

#1

Δίνεται ο αριθμός

με

#2

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 03, 2019 9:05 pm
Δίνεται ο αριθμός με και οι γραμμές με εξισώσεις $a\left | x \right |-\left | y \right |=1$ και $\left | x \right |+a\left | y \right |=a$

α) Δείξετε ότι οι γραμμές έχουν τέσσερα κοινά σημεία τα οποία ανήκουν σε σταθερό κύκλο
β) Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου που ορίζουν αυτά τα σημεία

Καλημέρα Γιώργη!

α) Από τις εξισώσεις παίρνω $\displaystyle a|x| - 1 = |y| = \frac{{a - |x|}}{a} \Leftrightarrow |x| = \frac{{2a}}{{{a^2} + 1}}$ και $\displaystyle |y| = \frac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}}$

Εύκολα τώρα προκύπτουν

λύσεις που ανήκουν στον κύκλο x^2+y^2=1.

β) Το τετράπλευρο που σχηματίζεται είναι ορθογώνιο και το εμβαδόν του μεγιστοποιείται όταν γίνει τετράγωνο,

δηλαδή όταν $\displaystyle 2a = {a^2} - 1 \Leftrightarrow a = 1 + \sqrt 2$ και το μέγιστο εμβαδόν είναι $\boxed{E_{\max } = 2}}$

Σύστημα και μέγιστο

Σύστημα και μέγιστο

Re: Σύστημα και μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση