Ελάχιστο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο ισοπλεύρου τριγώνου

#1

: Ελάχιστο τμήμα που διέρχεται από κέντρο ισοπλεύρου τριγώνου.png (15.65 KiB) Προβλήθηκε 1324 φορές

Μια μεταβλητή ευθεία $\epsilon$ διέρχεται από το κέντρο

ενός ισοπλεύρου τριγώνου ABC

πλευράς

και τέμνει τις πλευρές του CA,CB

στα σημεία P,Q.

Να βρείτε τη θέση της ευθείας για την οποία το μήκος του τμήματος

γίνεται ελάχιστο.

Σχόλιο Η άσκηση προσφέρεται για πολλές προσεγγίσεις. Γι΄αυτό επιλέχθηκε ο συγκεκριμένος φάκελος, για να υπάρχει άνεση χειρισμών.

Αφιερώνεται στον υπέροχο Ροδόλφο Μπόρη.

#2

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε: Τετ Ιούλ 08, 2020 10:50 am Ελάχιστο τμήμα που διέρχεται από κέντρο ισοπλεύρου τριγώνου.png

Μια μεταβλητή ευθεία $\epsilon$ διέρχεται από το κέντρο ενός ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς και τέμνει τις πλευρές του στα σημεία Να βρείτε τη θέση της ευθείας για την οποία το μήκος του τμήματος γίνεται ελάχιστο.

Σχόλιο Η άσκηση προσφέρεται για πολλές προσεγγίσεις. Γι΄αυτό επιλέχθηκε ο συγκεκριμένος φάκελος, για να υπάρχει άνεση χειρισμών.

Αφιερώνεται στον υπέροχο Ροδόλφο Μπόρη.

Φέρνω το τμήμα MN||AB

που διέρχεται από το

όπως φαίνεται στο σχήμα και είναι $\displaystyle CM = MN = NC = \frac{2}{3}.$
Θέτω $MP=x, QN=y, x\ge y.$

: Ελάχιστο σε ισόπλευρο.png (8.45 KiB) Προβλήθηκε 1277 φορές

Ν.συνημιτόνου στο CPQ:

$\boxed{P{Q^2} = {\left( {x + \frac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{3} - y} \right)^2} - \left( {x + \frac{2}{3}} \right)\left( {\frac{2}{3} - y} \right)}$ (1)

Μενέλαος στο CMN

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {POQ}:$ $\displaystyle \frac{{\frac{2}{3} - y}}{y} \cdot \frac{x}{{x + \frac{2}{3}}} = 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{y = \frac{x}{{3x + 1}}}$ (2)

Από

και

$\displaystyle f(x) = P{Q^2} = \frac{{{{(3x + 2)}^2}(9{x^2} + 3x + 1)}}{{9{{(3x + 1)}^2}}}$ με παράγωγο

$\displaystyle f'(x) = \frac{{x(54{x^3} + 81{x^2} + 45x + 10)}}{{{{(3x + 1)}^3}}},x \ge 0.$ Άρα η

παρουσιάζει για $\boxed{x=0}$ ελάχιστη τιμή ίση με

$\dfrac{4}{9},$ δηλαδή $\boxed{P{Q_{\min }} = \frac{2}{3}}$ Επομένως το

είναι το ελάχιστο τμήμα.

Η λύση αφιερώνεται στον Ροδόλφο Μπόρη.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Στο σχήμα του Γιώργου.
Λογω συμμετρίας μπορούμε να υποθέσουμε ότι το

είναι μεταξύ των C,N

.
Εστω

το συμμετρικό του

ως προς την

.
Η

είναι διχοτόμος της $\angle KOQ$
Ετσι έχουμε $MN=2ON\leq OK+OQ=QP$
Στηριχθήκαμε στο ότι σε κάθε τρίγωνο η διχοτόμος είναι μικρότερη η ιση της διαμέσου
η οποία είναι μικρότερη από το μισό του αθροίσματος των δυο πλευρών στις οποίες
είναι ανάμεσα.

Τα ίδια ισχύουν αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές με κορυφή το C και το Ο είναι σημείο του
υψους του

#4

Η ίδια ερώτηση με ευθεία που περνάει από το βαρύκεντρο ισοσκελούς πυραμίδας στις 3 διαστάσεις και η ίδια στις

διαστάσεις με ευθεία που περνάει από το βαρύκεντρο του κανονικού (regular) simplex.

Ελάχιστο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο ισοπλεύρου τριγώνου

Ελάχιστο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο ισοπλεύρου τριγώνου

Re: Ελάχιστο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο ισοπλεύρου τριγώνου

Re: Ελάχιστο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο ισοπλεύρου τριγώνου

Re: Ελάχιστο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο ισοπλεύρου τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση