Στριφνό εμβαδόν

KARKAR · #1

: Στριφνό εμβαδόν.png (9.43 KiB) Προβλήθηκε 650 φορές

Η παραβολή και το ημικύκλιο του σχήματος , τέμνονται στα σημεία

και

. Υπολογίστε

το μέγιστο εμβαδόν του χωρίου που σχηματίζεται από την κοινή χορδή και την παραβολή .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 10, 2021 7:55 am
Στριφνό εμβαδόν.pngΗ παραβολή και το ημικύκλιο του σχήματος , τέμνονται στα σημεία και . Υπολογίστε

το μέγιστο εμβαδόν του χωρίου που σχηματίζεται από την κοινή χορδή και την παραβολή .

: Στριφνό εμβαδόν.png (13.44 KiB) Προβλήθηκε 609 φορές

Το ζητούμενο εμβαδόν είναι $\displaystyle E = 2a{t^3} - 2\int\limits_0^t {a{x^2}dx = \frac{{4a{t^3}}}{3}}$

Αλλά $\displaystyle a{t^2} = \sqrt {9 - {t^2}} \Leftrightarrow a = \frac{{\sqrt {9 - {t^2}} }}{{{t^2}}}$ και $\boxed{E = \frac{{4t}}{3}\sqrt {9 - {t^2}}}$

Εύκολα τώρα, $\boxed{{E_{\max }} = 6}$ όταν $\boxed{t = \frac{3}{{\sqrt 2 }}}$ και $\boxed{a = \frac{{\sqrt 2 }}{3}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 10, 2021 7:55 am
Η παραβολή και το ημικύκλιο του σχήματος , τέμνονται στα σημεία και . Υπολογίστε

το μέγιστο εμβαδόν του χωρίου που σχηματίζεται από την κοινή χορδή και την παραβολή .

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 10, 2021 5:26 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 10, 2021 7:55 am
Στριφνό εμβαδόν.pngΗ παραβολή και το ημικύκλιο του σχήματος , τέμνονται στα σημεία και . Υπολογίστε

το μέγιστο εμβαδόν του χωρίου που σχηματίζεται από την κοινή χορδή και την παραβολή .

Το ζητούμενο εμβαδόν είναι $\displaystyle E = 2a{t^3} - 2\int\limits_0^t {a{x^2}dx = \frac{{4a{t^3}}}{3}}$

Αλλά $\displaystyle a{t^2} = \sqrt {9 - {t^2}} \Leftrightarrow a = \frac{{\sqrt {9 - {t^2}} }}{{{t^2}}}$ και $\boxed{E = \frac{{4t}}{3}\sqrt {9 - {t^2}}}$

Εύκολα τώρα, $\boxed{{E_{\max }} = 6}$ όταν $\boxed{t = \frac{3}{{\sqrt 2 }}}$ και $\boxed{a = \frac{{\sqrt 2 }}{3}}$

Γιώργο επίτρεψε μου να αναρτήσω δυο εικόνες και ένα δυναμικό σχήμα

που δείχνουν το όλο δρώμενο της άσκησης αυτής που έλυσες

1ο Σχήμα

: Χωρίο μεταξύ παραβολή και χορδής 1.png (22.24 KiB) Προβλήθηκε 554 φορές

Το ενδιαφέρον της εικόνας αυτής από το λογισμικό Geogebra είναι ότι ο σχεδιασμός του χωρίου
έγινε χωρίς την εντολή "ίχνος" που δίνει πρόχειρα αποτελέσματα αλλά με τη χρήση της εντολής
του ολοκληρώματος.

Παραθέτω και το δυναμικό σχήμα για όσους δουλεύουν στην κατεύθυνση αυτή:

Εμβαδόν και ολοκλήρωμα 2.ggb: (17.17 KiB) Μεταφορτώθηκε 25 φορές

Σχήμα 2

: Χωρίο μεταξύ παραβολή και χορδής 2.png (27.42 KiB) Προβλήθηκε 554 φορές

Στο σχήμα αυτό μεταβάλλοντας την τιμή του $\displaystyle{a}$ παίρνουμε το γράφημα της μεταβολής του
εμβαδού και ασφαλώς έχουμε μια εικόνα της όλης εξέλιξης του εμβαδού που μελετούμε.
Συγκεκριμένα το σημείο $\displaystyle{K}$ σχεδιάστηκε με τα αποτελέσματα που έβγαλες και δίνουν
μια επαλήθευση του συλλογισμού σου.

Κώστας Δόρτσιος

#4

Σ' ευχαριστώ Κώστα για την ανάλυση του προβλήματος και την επαλήθευση του αποτελέσματος.
Το δυναμικό σχήμα είναι εξαιρετικό!

Στριφνό εμβαδόν

Στριφνό εμβαδόν

Re: Στριφνό εμβαδόν

Re: Στριφνό εμβαδόν

Re: Στριφνό εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση