Απαλοιφή παραμέτρου

KARKAR · #1

: Απαλοιφή παραμέτρου.png (12.73 KiB) Προβλήθηκε 1000 φορές

Σε σημείο του τμήματος

με τετμημένη $t , ( 0\leq t\leq 5 )$ , φέρω κάθετη και ονομάζω

την τομή της

με το τμήμα

,

το συμμετρικό του

, ως προς τον x'x

και

την τομή των AS , BS'

.

Οι συντεταγμένες του

είναι : $x=\dfrac{-5t^2}{t^2-5t-25}$ και $y=\dfrac{25(t-5)}{t^2-5t-25}$ ( επαληθεύστε ) .

Υπάρχει περίπτωση να εκφρασθεί ο γεωμετρικός τόπος του

από κάποια συνάρτηση f(x)

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 30, 2021 2:59 pm
Απαλοιφή παραμέτρου.pngΣε σημείο του τμήματος με τετμημένη $t , ( 0\leq t\leq 5 )$ , φέρω κάθετη και ονομάζω την τομή της

με το τμήμα , το συμμετρικό του , ως προς τον και την τομή των .

Οι συντεταγμένες του είναι : $x=\dfrac{-5t^2}{t^2-5t-25}$ και $y=\dfrac{25(t-5)}{t^2-5t-25}$ ( επαληθεύστε ) .

Υπάρχει περίπτωση να εκφρασθεί ο γεωμετρικός τόπος του από κάποια συνάρτηση ;

Από τις συντεταγμένες του

παίρνω: $\displaystyle \frac{{x + \sqrt {5{x^2} + 20x} }}{{x + 5}} = \frac{{2t}}{5} = \frac{{y + 5 + \sqrt {5{y^2} - 10y + 25} }}{y},$ απ' όπου

$\boxed{ y=f(x) = 2x - \sqrt {5{x^2} + 20x} + 5,0 \le x \le 5}$

Γιατί έχω την εντύπωση ότι έχει κάποια σχέση με αυτήν

edit: Διόρθωσα δύο τυπογραφικά στα υπόρριζα της εξίσωσης. Το ένα είναι 20x

αντί

κα το άλλο -10y

αντί

KARKAR · #3

Γιώργο , αφού σε ευχαριστήσω για την λύση , επίτρεψέ μου ένα ( γνήσιο ) ερώτημα :

Έλυσες την εξίσωση : $\displaystyle \frac{{x + \sqrt {5{x^2} + 20} }}{{x + 5}} = \frac{{y + 5 + \sqrt {5{y^2} - 20y + 25} }}{y}$ ,

ως προς

, ( έστω και ) , με το χέρι ;

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 30, 2021 7:42 pm
Γιώργο , αφού σε ευχαριστήσω για την λύση , επίτρεψέ μου ένα ( γνήσιο ) ερώτημα :

Έλυσες την εξίσωση : $\displaystyle \frac{{x + \sqrt {5{x^2} + 20} }}{{x + 5}} = \frac{{y + 5 + \sqrt {5{y^2} - 20y + 25} }}{y}$ ,

ως προς , ( έστω και ) , με το χέρι ;

Όχι βέβαια

(Δεν δοκίμασα καν! Μιας και το ανέφερες όμως, θα το κοιτάξω).

#5

Έχει κάποια ταλαιπωρία, αλλά βγαίνει με το χέρι. Κρατάω ότι:

$x=\dfrac{-5t^2}{t^2-5t-25},$ $y=\dfrac{25(t-5)}{t^2-5t-25}$ και $\displaystyle \frac{{x + \sqrt {5{x^2} + 20x} }}{{x + 5}} = \frac{{2t}}{5} = \frac{{y + 5 + \sqrt {5{y^2} - 10y + 25} }}{y}$

$\displaystyle x + 5 = \frac{{ - 25(t + 5)}}{{{t^2} - 5t - 25}} \Leftrightarrow x + 5 - y = \frac{{ - 25(t + 5)}}{{{t^2} - 5t - 25}} - \frac{{25(t - 5)}}{{{t^2} - 5t - 25}} = \frac{{ - 50t}}{{{t^2} - 5t - 25}}$

και $\displaystyle x + 5 + y = \frac{{ - 250}}{{{t^2} - 5t - 25}} \Rightarrow$ $\boxed{\frac{{x - y + 5}}{{x + y + 5}} = \frac{t}{5}}$

Άρα, $\displaystyle \frac{{2(x - y + 5)}}{{x + y + 5}} = \frac{{x + \sqrt {5{x^2} + 20x} }}{{x + 5}} \Leftrightarrow y = \frac{{(x + 5)\left( {x + 10 - \sqrt {5{x^2} + 20x} } \right)}}{{3x + 10 + \sqrt {5{x^2} + 20x} }}$

Πολλαπλασιάζω και διαιρώ με τη συζυγή παράσταση του παρονομαστή και έχω:

$\displaystyle y = \frac{{(x + 5)\left( {x + 10 - \sqrt {5{x^2} + 20x} } \right)\left( {3x + 10 - \sqrt {5{x^2} + 20x} } \right)}}{{4{{(x + 5)}^2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{y = 2x + 5 - \sqrt {5{x^2} + 20x} }$

mathematica.gr

Απαλοιφή παραμέτρου

Απαλοιφή παραμέτρου

Re: Απαλοιφή παραμέτρου

Re: Απαλοιφή παραμέτρου

Re: Απαλοιφή παραμέτρου

Re: Απαλοιφή παραμέτρου

Μέλη σε σύνδεση