Μία εικασία

il0vecats · #1

Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει αριθμητική πρόοδος με άπειρους όρους, οι οποιοί είναι όλοι δυνάμεις θετικών ακεραίων. Μέχρι στιγμής το έχω αποδείξει μόνο για τέλεια τετράγωνα, δεν έχω ιδέα πως να το προσεγγίσω για τέλειες δυνάμεις.

#2

Μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι οι τέλειες δυνάμεις είναι «αραιές» στους φυσικούς αριθμούς. Ας δούμε τι εννοώ.

Από το 1 ως το

έχουμε το πολύ $\sqrt{N}$ τέλεια τετράγωνα, $\sqrt[3]{N} \leqslant \sqrt{N}$ τέλειους κύβους κ.ο.κ. Αν υπάρχει τέλεια

δύναμη σε αυτό το σύνολο (εκτός από το

) τότε $2^k \leqslant N$ οπότε $k \leqslant \log_2{N}$ . Συνολικά λοιπόν έχουμε το πολύ $\sqrt{N} \log_2{N}$ τέλειες δυνάμεις.

Θεωρούμε τώρα την αριθμητική πρόοδο $a,a+d,a+2d,\ldots,$ . Στο διάστημα από το

ως το

έχει

όρους. Από τα πιο πάνω υπάρχουν το πολύ $\sqrt{a+dn}\log_2{(a+dn)}$ τέλειες δυνάμεις. Αν η αριθμητική πρόοδος αποτελείται μόνο από τέλειες δυνάμεις τότε θα έχουμε $\sqrt{a+dn}\log_2{(a+dn)} \geqslant n$ για κάθε φυσικό

. Αυτό όμως είναι άτοπο διότι

$\displaystyle \frac{\sqrt{a+dn}\log_2{(a+dn)}}{n} \to 0$

όταν $n \to \infty$ .

mathematica.gr

Μία εικασία

Μία εικασία

Re: Μία εικασία

Μέλη σε σύνδεση