Γνωστό λήμμα;
Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13301
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Γνωστό λήμμα;
Έπεσα σήμερα το πρωί σε ένα λήμμα, που ομολογώ ότι δεν το ήξερα. Επίσης το έβαλα στα "Γενικά", γιατί δεν ήξερα σε ποιο φάκελο να το κατατάξω. Λέει τα εξής:
Αν και , τότε και
Αν και , τότε και
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3345
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Γνωστό λήμμα;
Νομίζω πως ανάγονται όλα στα δύο σχήματα του συνημμένου: η υπόθεση συνεπάγεται την ισότητα , κάτι που δεν μπορεί να ισχύει για , , λόγω της .
[Λίγο τηλεγραφικά τα παραπάνω ... ειδικά επειδή υποπτεύομαι πως υπάρχουν κομψότερες προσεγγίσεις ]
[Λίγο τηλεγραφικά τα παραπάνω ... ειδικά επειδή υποπτεύομαι πως υπάρχουν κομψότερες προσεγγίσεις ]
- Συνημμένα
-
- άγνωστο-λήμμα.png (11.01 KiB) Προβλήθηκε 2505 φορές
τελευταία επεξεργασία από gbaloglou σε Τετ Ιουν 15, 2016 5:56 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Γνωστό λήμμα;
Αν , τότε , οπότε μπορεί να θεωρηθεί και ως συνέπεια της μονοτονίας της συνεφαπτομένης στο διάστημα .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Γνωστό λήμμα;
Από την παίρνουμε Επειδή όμως καταλήγουμε στην
Από εδώ βγαίνει εύκολα το και άρα και το αρκεί όμως να ξέρουμε επιπλέον ότι .
Από εδώ βγαίνει εύκολα το και άρα και το αρκεί όμως να ξέρουμε επιπλέον ότι .
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4098
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Γνωστό λήμμα;
Ακόμη μία προσέγγιση με την καλησπέρα μου στους αγαπητούς φίλους:
Αφού οι γωνίες και είναι θετικές και έχουν άθροισμα μικρότερο των άρα υπάρχει τρίγωνο και που έχει ως γωνίες τις , και , αντίστοιχα. Μάλιστα λόγω της ισότητας προκύπτει .
Από τον νόμο των ημιτόνων στο έχουμε και .
Συνεπώς, από τη δοσμένη σχέση , παίρνουμε και αφού , άρα τα τρίγωνα είναι όμοια οπότε το ζητούμενο έπεται...
Αλέξανδρος
Αφού οι γωνίες και είναι θετικές και έχουν άθροισμα μικρότερο των άρα υπάρχει τρίγωνο και που έχει ως γωνίες τις , και , αντίστοιχα. Μάλιστα λόγω της ισότητας προκύπτει .
Από τον νόμο των ημιτόνων στο έχουμε και .
Συνεπώς, από τη δοσμένη σχέση , παίρνουμε και αφού , άρα τα τρίγωνα είναι όμοια οπότε το ζητούμενο έπεται...
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3345
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Γνωστό λήμμα;
Χωρίς ... παραγώγους, η είναι άμεση από το Θεώρημα του Πτολεμαίου στο . (Αναφέρομαι στο αρχικό μου σχήμα.)gbaloglou έγραψε:Νομίζω πως ανάγονται όλα στα δύο σχήματα του συνημμένου: η υπόθεση συνεπάγεται την ισότητα , κάτι που δεν μπορεί να ισχύει για , , λόγω της .
[Για το αρχικό γνωστό (;) λήμμα οικονομικότερη/γεωμετρικότερη είναι βεβαίως η απόδειξη του Αλέξανδρου.]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13301
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Γνωστό λήμμα;
Καλημέρα!
Σας ευχαριστώ όλους για την ενασχόληση με το θέμα και τις υποδειγματικές απαντήσεις.
Η πηγή μου είναι εδώ. Όπως φαίνεται κάποιος το βρήκε κάπου ως άσκηση και το μετονόμασε σε λήμμα.
Σας ευχαριστώ όλους για την ενασχόληση με το θέμα και τις υποδειγματικές απαντήσεις.
Η πηγή μου είναι εδώ. Όπως φαίνεται κάποιος το βρήκε κάπου ως άσκηση και το μετονόμασε σε λήμμα.
Re: Γνωστό λήμμα;
Το χρησιμοποιούμε εκτεταμένα, με πολλές (εύκολες και δύσκολες) εφαρμογές στο βιβλίο Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ΙΙ.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες