Νιοστή ρίζα συνεχούς κλάσματος με αριθμούς Lucas

Tolaso J Kos · #1

Ας συμβολίσουμε με L_n

τον νιοστό αριθμό Lucas και ας ισχύει για αυτόν L_0=2

,

καθώς επίσης και
$\displaystyle{L_{n+2}=L_{n+1} + L_{n} \quad \text{\gr για κάθε} \; n \geq 0}$ Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης
$\displaystyle{\mathcal{R}=\sqrt[n]{L_{2n} - \frac{1}{L_{2n}- \dfrac{1}{L_{2n}-\ddots}}}}$ Άνευ λύσης.

#2

Tolaso J Kos έγραψε:Ας συμβολίσουμε με τον νιοστό αριθμό Lucas και ας ισχύει για αυτόν , καθώς επίσης και
$\displaystyle{L_{n+2}=L_{n+1} + L_{n} \quad \text{\gr για κάθε} \; n \geq 0}$ Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης
$\displaystyle{\mathcal{R}=\sqrt[n]{L_{2n} - \frac{1}{L_{2n}- \dfrac{1}{L_{2n}-\ddots}}}}$ Άνευ λύσης.

Μήπως χάνω κάτι; Δεν βλέπω που μπαίνουν οι αριθμοί Lucas εκτός ίσως σε ένα τετριμμένο βήμα:

Αν ονομάσουμε

το συνεχές κλάσμα (αγνοούμε την ρίζα) τότε ικανοποιεί $\displaystyle{S = L_{2n} - \frac {1}{S}}$ .

Άρα $\displaystyle{S = \frac {1}{2} ( L_{2n} - \sqrt {L_{2n}^2-4} )}$

Το

είναι η νιοστή του ρίζα. Αν θέλουμε να διώξουμε το $L_{2n}$ , απλά γράφουμε τον τύπο του, που μας τον δίνει η λύση της αναδρομικής.

Tolaso J Kos · #3

Μιχάλη ,

δε γνωρίζω τίποτα περισσότερο απο αυτο που έγραψα . Την άσκηση τη βρήκα έτσι στα Αγγλικά .

#4

Tolaso J Kos έγραψε: Την άσκηση τη βρήκα έτσι στα Αγγλικά .

Εχεις παραπομπή;

Tolaso J Kos · #5

Παραπομπή δύσκολο να τη βρω στο εργαστήρι ... Έχω κρατήσει όμως την εκφώνηση την οποία επισυνάπτω

: IMG_6439.JPG (14.24 KiB) Προβλήθηκε 2046 φορές

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Άρα $\displaystyle{S = \frac {1}{2} ( L_{2n} - \sqrt {L_{2n}^2-4} )}$

Το είναι η νιοστή του ρίζα. Αν θέλουμε να διώξουμε το $L_{2n}$ , απλά γράφουμε τον τύπο του, που μας τον δίνει η λύση της αναδρομικής.

Νομίζω αυτό που πρέπει να συμπληρώσω είναι ότι αποδεικνύεται απλά ότι το

είναι σταθερό και μάλιστα ίσο με $\frac {1}{\phi}$ (ή, ένα και το αυτό, $\phi -1$ ).

Με άλλα λόγια το ενδιαφέρον της άσκησης είναι "αριθμολογικό" και όχι Μαθηματικό. Θέλω να πω, έβγαλε ένα απρόσμενο αριθμητικό αποτέλεσμα με άσκηση χωρίς ιδιαίτερη πλοκή.

Νιοστή ρίζα συνεχούς κλάσματος με αριθμούς Lucas

Νιοστή ρίζα συνεχούς κλάσματος με αριθμούς Lucas

Re: Νιοστή ρίζα συνεχούς κλάσματος με αριθμούς Lucas

Re: Νιοστή ρίζα συνεχούς κλάσματος με αριθμούς Lucas

Re: Νιοστή ρίζα συνεχούς κλάσματος με αριθμούς Lucas

Re: Νιοστή ρίζα συνεχούς κλάσματος με αριθμούς Lucas

Re: Νιοστή ρίζα συνεχούς κλάσματος με αριθμούς Lucas

Μέλη σε σύνδεση