Ισότητα και μεγιστοποιήσεις

KARKAR · #1

: Ισότητα και μεγιστοποιήσεις.png (10.55 KiB) Προβλήθηκε 1019 φορές

Από σημείο

ενός ημικυκλίου φέρουμε χορδή

παράλληλη προς τη διάμετρο

και την εφαπτομένη του τόξου , η οποία τέμνει την προέκταση της διαμέτρου στο σημείο

.

Βρείτε εκείνες τις θέσεις του

για τις οποίες : α) Μεγιστοποιείται το (SPT)

β) Είναι : SP=ST

...... γ) Μεγιστοποιείται η γωνία $\widehat{SPT}$

#2

KARKAR έγραψε:Ισότητα και μεγιστοποιήσεις.pngΑπό σημείο ενός ημικυκλίου φέρουμε χορδή παράλληλη προς τη διάμετρο

και την εφαπτομένη του τόξου , η οποία τέμνει την προέκταση της διαμέτρου στο σημείο .

Βρείτε εκείνες τις θέσεις του για τις οποίες : α) Μεγιστοποιείται το

Γεια σου Θανάση!

: Ισότητα και μεγιστοποιήσεις.png (13.05 KiB) Προβλήθηκε 998 φορές

$\displaystyle{{h^2} = x(2R - x) \Rightarrow (SPT) = \frac{{PS \cdot h}}{2} = \frac{{2(R - x)\sqrt {x(2R - x)} }}{2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{(SPT) = E(x) = (R - x)\sqrt {x(2R - x)} }$

Με τη βοήθεια των παραγώγων (μεγάλη η χάρη τους

) βρίσκουμε ότι το εμβαδόν μεγιστοποιείται για $\boxed{x = \frac{R}{2}\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}$

και παίρνει την τιμή $\boxed{{(SPT)_{\max }} = \frac{{{R^2}}}{2}}$

#3

1.

: Μεγιστοποιήσεις_a1.png (16.48 KiB) Προβλήθηκε 970 φορές

$\boxed{(SPT) = (OSP) = \frac{1}{2}OS \cdot OP \cdot \sin (\widehat {SOP}) \leqslant \frac{{{R^2}}}{2}}$ άρα αρκεί $\widehat {BOS} = 45^\circ$

2.

: Μεγιστοποιήσεις_a2.png (19.58 KiB) Προβλήθηκε 955 φορές

Αν τώρα

και

οι προβολές των S,P

στη διάμετρο , θέτω:

$\boxed{SP = ST = x\,\,,\,\,KB = u\,\,,BT = v}$ και θα ισχύουν : $SP = KL = 2R - 2u\,\,(1)$

$T{S^2} = TB \cdot TA \Rightarrow {x^2} = v(v + 2R)\,\,(2)$ και αφού ως γνωστό τα σημεία B,A

είναι

αρμονικά συζυγή με τα K,T

θα είναι : $\dfrac{{BK}}{{BT}} = \dfrac{{AK}}{{AT}} \Rightarrow \dfrac{u}{v} = \dfrac{{2R - u}}{{2R + v}}\,\,(3)$

Από τις $(1),\,\,(2),\,\,(3)$ προκύπτει $\boxed{x = R\sqrt {\frac{{\sqrt {17} - 1}}{2}} }$ άρα $\boxed{OK = OL = \frac{R}{2}\sqrt {\frac{{\sqrt {17} - 1}}{2}} }$ και

έτσι προσδιορίζονται τα K,L

συνεπώς και τα S,P

.

3. Αν τώρα θέλουμε να βρούμε το μέγιστο της γωνίας $\theta$ , επειδή στο $[0,\dfrac{\pi }{2})$ η συνάρτηση $y = \tan x$ είναι γνήσια αύξουσα αρκεί να μελετήσουμε το λόγο
$\dfrac{{PL}}{{LT}}$ . Λόγω της (3)

προκύπτει $\dfrac{u}{v} = \dfrac{R}{{R + v}} \Rightarrow u = \dfrac{{Rv}}{{R + v}}\,\,(4)$ ενώ

: Μεγιστοποιήσεις_a3.png (21.21 KiB) Προβλήθηκε 951 φορές

$\left\{ \begin{gathered} P{L^2} = LA \cdot LB \hfill \\ LT = LK + KB + BT \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} P{L^2} = u(2R - u) \hfill \\ LT = 2R - u + v \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και εξ αιτίας της (4)

γίνονται

$\left\{ \begin{gathered} PL = \frac{R}{v}\sqrt {v(2R + v)} \hfill \\ LT = \frac{{{R^2}}}{{R + v}} + R + v \hfill \\ \end{gathered} \right.$ Έτσι $\tan (\theta ) = \dfrac{{PL}}{{LT}} = f(v) = \dfrac{{R\sqrt {v(2R + v)} }}{{2{R^2} + 2Rv + {v^2}}}$ που

παρουσιάζει μέγιστο για $\boxed{v = R(\sqrt 3 - 1)}$ και μέγιστη τιμή $\boxed{\frac{{\sqrt 2 }}{4}}$ .

Η κατασκευή δε είναι απλή αρκεί να πάρω $\boxed{OT = R\sqrt 3 }$ και να φέρω το

εφαπτόμενο τμήμα

.

Παρατήρηση : το τετράπλευρο PSTK

είναι παραλληλόγραμμο και $SA = SB\sqrt 3$ .

Ισότητα και μεγιστοποιήσεις

Ισότητα και μεγιστοποιήσεις

Re: Ισότητα και μεγιστοποιήσεις

Re: Ισότητα και μεγιστοποιήσεις

Μέλη σε σύνδεση