Γενίκευση ανισότητας

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Με αφορμή το
viewtopic.php?f=95&t=59428

Εστω p> 1

και $n\geq 2$

Αν $x_{i}\geq 0,x_{1}^{p}\geq x_{2}^{p}+x_{3}^{p}+...x_{n}^{p}$

και $y_{i}\geq 0,y_{1}^{p}\geq y_{2}^{p}+y_{3}^{p}+...y_{n}^{p}$

τότε

$((x_{1}+y_{1})^{p}-(x_{2}+y_{2})^{p}-(x_{3}+y_{3})^{p}...-(x_{n}+y_{n})^{p})^{\frac{1}{p}}\geq (x_{1}^{p}-x_{2}^{p}-x_{3}^{p}...-x_{n}^{p})^{\frac{1}{p}}+(y_{1}^{p}-y_{2}^{p}-y_{3}^{p}...-y_{n}^{p})^{\frac{1}{p}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Συμβολισμός $\tilde{x}=(x_{1},x_{2},...x_{n})$

Θεωρούμε τα υποσύνολα του $\mathbb{R}^{n}$

$A=\left \{ \tilde{x}: x_{i}\geq 0,x_{1}^{p}-x_{2}^{p}...-x_{n}^{p}\geq 0 \right \}$

και $S=\left \{ \tilde{z}:z_{i}\geq 0,z_{1}\geq 1,(z_{2}^{q}+...z_{n}^{q})\leq z_{1}^{q}-1 \right \}$

Οπου $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$

Είναι φανερό απο Minkowski ότι $\tilde{x},\tilde{y}\in A\Rightarrow \tilde{x}+\tilde{y}\in A$

Αν θέσουμε $f:A\rightarrow \mathbb{R}$
με $f(\tilde{x})=(x_{1}^{p}-x_{2}^{p}-...x_{n}^{p})^{\frac{1}{p}}$

θέλουμε να αποδείξουμε ότι

$f(\tilde{x}+\tilde{y})\geq f(\tilde{x})+ f(\tilde{y})$

Το κλειδί της απόδειξης είναι ότι: $f(\tilde{x})=min(x_{1}z_{1}-(x_{2}z_{2}+....+x_{n}z_{n}):\tilde{z}\in S)$ (1)

Από Holder έχουμε ότι
$(x_{1}^{p}-x_{2}^{p}-....-x_{n}^{p})^{\frac{1}{p}}.1+x_{2}z_{2}+....+x_{n}z_{n}\leq x_{1}(1+z_{2}^{q}+...z_{n}^{q})^{\frac{1}{q}}\leq x_{1}z_{1}$

Μπορούμε να διαλέξουμε το $\tilde{z}\in S$

ώστε να έχουμε ισότητα στην παραπάνω.

Πρώτα διαλέγουμε τα $z_{2},..z_{n}$ ώστε να έχουμε ισότητα στην Holder και μετά το $z_{1}$

Αποδείξαμε την (1)

Ετσι $f(\tilde{x}+\tilde{y})=(x_{1}+y_{1})z_{1}-(x_{2}+y_{2})z_{2}-....-(x_{n}+y_{n})z_{n}=$
$=x_{1}z_{1}-x_{2}z_{2}-....- x_{n}z_{n}+y_{1}z_{1}-y_{2}z_{2}-....-y_{n}z_{n}\geq f(\tilde{x})+f(\tilde{y})$

(αφού έχουμε min αυτό πιάνεται)

και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Γενίκευση ανισότητας

Γενίκευση ανισότητας

Re: Γενίκευση ανισότητας

Re: Γενίκευση ανισότητας

Μέλη σε σύνδεση