Για την εφαπτομένη των 89 μοιρών

#1

Ο πίνακας των τριγωνομετρικών αριθμών του σχολικού βιβλίου έχει στο τέλος την εντυπωσιακή τιμή $\tan 89^o=57,2900...$
Η αριθμομηχανή μου λέει πως $\tan 89^o=57,289961...$

Να αποδειχθεί ότι $\tan 89^o>57$

#2

Ας γράψουμε $x = \sin(1^{\circ}) = \cos(89^{\circ})$ . Τότε

$\displaystyle \tan(89^{\circ}) > 57 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} > 57 \Leftrightarrow \frac{1-x^2}{x^2} > 57^2 \Leftrightarrow x^2 < \frac{1}{1+57^2}$

Μόνο που $\displaystyle x = \sin(1^{\circ}) = \sin(\tfrac{\pi}{180}) < \tfrac{\pi}{180}$

Αρκεί λοιπόν να δειχθεί ότι $\displaystyle \pi < \frac{180}{\sqrt{1+57^2}}$

Χρησιμοποιώντας την γνωστή ανισότητα $\pi < \frac{22}{7}$ , αρκεί να δειχθεί ότι $11\sqrt{1+57^2} < 630$ .

Επειδή $\sqrt{x^2+1} < x + \frac{1}{2x}$ για x>0

, (άμεσο υψώνοντας στο τετράγωνο), τότε

$\displaystyle 11\sqrt{1+57^2} < 11\left(57 + \frac{1}{114}\right) = 627 + \frac{11}{114} < 630$

Οπότε το ζητούμενο αποδείχθηκε.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Διαφορετικά.

Επειδή $\tan 89=\dfrac{1}{\tan 1}$

αρκεί να δείξουμε ότι $\dfrac{1}{57}> \tan 1= \tan \frac{\pi }{180}$

Ισοδύναμα $\arctan \frac{1}{57}> \frac{\pi }{180}$

Είναι εύκολο να δειχθεί με λογισμό ότι

$\arctan x> x-\frac{x^{3}}{3},x> 0$

Ετσι είναι $\arctan \frac{1}{57}> \frac{1}{57}-\frac{1}{3.57^{3}}=\frac{3.57^{2}-1}{3^{4}.19^{3}}$

Επειδή είναι $\frac{22}{7}> \pi$

αρκεί να δειχθεί ότι $\frac{3.57^{2}-1}{3^{4}.19^{3}}> \frac{11}{70.3^{2}}$

η ισοδύναμα $70.(3.57^{2}-1)> 11.3^{2}.19^{3}$

δηλαδή 682220> 679041

που φυσικά ισχύει.

Σημείωση.

Αν $f(x)=\arctan x-x+\frac{x^{3}}{3}$ τότε f(0)=0

και

$f'(x)=\frac{x^{4}}{1+x^{2}}> 0$

KARKAR · #4

Σχόλιο : Είναι γνωστό ότι $x\in(0,\dfrac{\pi}{2})$ , ισχύει x<tanx

.

Επομένως : $\dfrac{\pi}{180}<\tan\dfrac{\pi}{180}=\tan1^0$ , ή :

$\dfrac{1}{\tan1^0}=\tan89^0<\dfrac{180}{\pi}$ . Αλλά είναι : $\dfrac{180}{\pi}\simeq \boxed{57.29578}$ .

Το τελευταίο θεωρείται γνωστό , διότι είναι το ισοδύναμο του 1 rad

, σε μοίρες .

Έτσι έχουμε αφενός και ένα άριστο άνω φράγμα της $\tan 89^0$ , αφ' ετέρου μια ακόμη

επιβεβαίωση του πόσο "κοντά" είναι το

με την $\tan x$ , για πολύ

μικρά

αφού : $\tan 89^0\simeq \boxed{57.28996}$

KARKAR · #5

Ας ασχοληθούμε και με το εξής συγκλονιστικό : Είναι : $\tan(89.5^0)\simeq 2\tan(89^0)$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 13, 2018 7:38 am
Ας ασχοληθούμε και με το εξής συγκλονιστικό : Είναι : $\tan(89.5^0)\simeq 2\tan(89^0)$

Δεν είναι τόσο συγκλονιστικό.

Για $x\simeq 0$

είναι $\tan x\simeq x$ (μετρημένα σε rad)

Αλλά $\tan 89,5=\dfrac{1}{\tan 0,5},\tan 89=\dfrac{1}{\tan 1}$

και $1=\frac{\pi }{180}rad$

δηλαδή αρκετά κοντά στο

Να σημειώσω ότι για π,χ
$0\leq x\leq 0,2$

είναι
$x+\frac{x^{3}}{3}\leq \tan x\leq x+\frac{x^{3}}{3}+x^{5}$
(η δεξιά ανισότητα βελτιώνεται ως προς τον συντελεστή του $x^{5}$ )

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 13, 2018 7:38 am
Ας ασχοληθούμε και με το εξής συγκλονιστικό : Είναι : $\tan(89.5^0)\simeq 2\tan(89^0)$

Η ουσία είναι αυτό που λέει ο Σταύρος. Αν θέλουμε να δούμε ερμηνεία του φαινομένου
αλλιώς, δηλαδή να δείξουμε ότι για μικρά $\theta$ είναι $\tan 2\theta \approx 2 \tan \theta$ ,
έχουμε

$\displaystyle{ \tan 2\theta = \frac {2\tan \theta}{1-\tan ^2\theta}= 2(\tan \theta)( 1+ \tan ^2\theta + \tan ^4\theta+...)=}$

$\displaystyle{ =2\tan \theta + 2\tan ^3\theta + 2\tan ^5\theta+...\approx 2\tan \theta}$

Για την εφαπτομένη των 89 μοιρών

Για την εφαπτομένη των 89 μοιρών

Re: Για την εφαπτομένη των 89 μοιρών

Re: Για την εφαπτομένη των 89 μοιρών

Re: Για την εφαπτομένη των 89 μοιρών

Re: Για την εφαπτομένη των 89 μοιρών

Re: Για την εφαπτομένη των 89 μοιρών

Re: Για την εφαπτομένη των 89 μοιρών

Μέλη σε σύνδεση