Η συνάρτηση - απόσταση
Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης
Η συνάρτηση - απόσταση
εκκινώντας από τη θέση κινείται "ανατολικά " . Μας ενδιαφέρει η
συμπεριφορά ( μελέτη) της συνάρτησης απόσταση : .
Είναι , συνεπώς έχουμε μόνο θετικές τιμές ( αναμενόμενο )
Επίσης : , άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ( προφανές )
Ακόμη : , επομένως η συνάρτηση είναι κυρτή .
Τέλος : . Τι σημαίνει όμως αυτό ; Φανερό είναι
ότι η είναι γνησίως φθίνουσα . Το μεταφράζω ότι η κυρτότητα της συνάρτησης
συνεχώς μειώνεται , δηλαδή η καμπύλη τείνει να γίνει ευθεία . Η συνέχεια του θέματος : 1) Να αναδείξουμε την χρησιμότητα της χρήσης της τρίτης
παραγώγου στην μορφή της καμπύλης και 2) Να δούμε τη συμπεριφορά της
συνάρτησης - απόσταση και σε άλλες περιπτώσεις . Ιδού η δεύτερη : Σημείο κινείται "ανατολικά" στο μοναδιαίο ημικύκλιο . Μελετήστε την
Λέξεις Κλειδιά:
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Η συνάρτηση - απόσταση
Καλησπέρα σε όλους. Επιχειρώ μια προσέγγιση:
Το είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα .
Τότε .
Αφού η είναι συνεχής και θετική, θα είναι .
Είναι .
Είναι: , άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Ακόμη : , επομένως η συνάρτηση είναι κοίλη .
Τέλος : , οπότε η είναι γνησίως αύξουσα με σύνολο τιμών .
Νομίζω ότι εδώ, επειδή το σύνολο τιμών της είναι φραγμένο δεν έχουμε κάποιο αξιοσημείωτο συμπέρασμα.
Αν μελετήσουμε την , τότε
, οπότε η είναι γνησίως αύξουσα με σύνολο τιμών . Αυτό σημαίνει ότι η καμπυλότητά της τείνει στο , καθόσον αυξάνει το , οπότε τείνει να μετατραπεί σε ευθεία.
Το ίδιο παρατηρούμε, βεβαίως, και μέσω της κλίσης της εφαπτομένης () της που είναι , που τείνει στο , όταν το τείνει στο .
edit: Ο Θανάσης έχει δίκιο στην παρακάτω ανάρτηση. Μπορεί η εφαπτόμενη της να τείνει να γίνει οριζόντια, όπως και της ή της κατακόρυφη, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι οι καμπύλες εκφυλίζονται σε ευθείες.
Το είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα .
Τότε .
Αφού η είναι συνεχής και θετική, θα είναι .
Είναι .
Είναι: , άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Ακόμη : , επομένως η συνάρτηση είναι κοίλη .
Τέλος : , οπότε η είναι γνησίως αύξουσα με σύνολο τιμών .
Νομίζω ότι εδώ, επειδή το σύνολο τιμών της είναι φραγμένο δεν έχουμε κάποιο αξιοσημείωτο συμπέρασμα.
Αν μελετήσουμε την , τότε
, οπότε η είναι γνησίως αύξουσα με σύνολο τιμών . Αυτό σημαίνει ότι η καμπυλότητά της τείνει στο , καθόσον αυξάνει το , οπότε τείνει να μετατραπεί σε ευθεία.
Το ίδιο παρατηρούμε, βεβαίως, και μέσω της κλίσης της εφαπτομένης () της που είναι , που τείνει στο , όταν το τείνει στο .
edit: Ο Θανάσης έχει δίκιο στην παρακάτω ανάρτηση. Μπορεί η εφαπτόμενη της να τείνει να γίνει οριζόντια, όπως και της ή της κατακόρυφη, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι οι καμπύλες εκφυλίζονται σε ευθείες.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Δευ Απρ 23, 2018 12:20 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Η συνάρτηση - απόσταση
Γιώργο , σκέφτομαι , ότι κάτι δεν πάει καλά . Η υπερβολές , όπως και η έχουν
ασύμπτωτη στο . Οι παραβολές όμως , όπως και , δεν έχουν .
Δηλαδή η κυρτότητά ( κοιλότητά ) τους , παρότι μειώνεται , οι γραφικές τους παραστάσεις
δεν τείνουν να γίνουν ευθείες . Ίσως χρειαζόμαστε και άλλα εργαλεία
ασύμπτωτη στο . Οι παραβολές όμως , όπως και , δεν έχουν .
Δηλαδή η κυρτότητά ( κοιλότητά ) τους , παρότι μειώνεται , οι γραφικές τους παραστάσεις
δεν τείνουν να γίνουν ευθείες . Ίσως χρειαζόμαστε και άλλα εργαλεία
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες