Ανισότητα με συνάρτηση!
Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Ανισότητα με συνάρτηση!
Αν , να αποδείξετε ότι
για οποιαδήποτε με
Την παραπάνω ανισότητα την κατασκεύασα με τρόπο, ο οποίος δεν φαίνεται να οδηγεί σε επέκταση σε περισσότερες από δύο μεταβλητές.
Υπάρχει άραγε τέτοια επέκταση;
για οποιαδήποτε με
Την παραπάνω ανισότητα την κατασκεύασα με τρόπο, ο οποίος δεν φαίνεται να οδηγεί σε επέκταση σε περισσότερες από δύο μεταβλητές.
Υπάρχει άραγε τέτοια επέκταση;
- Συνημμένα
-
- function.png (14.45 KiB) Προβλήθηκε 1010 φορές
Μάγκος Θάνος
Λέξεις Κλειδιά:
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα με συνάρτηση!
Προς το παρόν δεν την βλέπω την επέκταση, καθώς η δεν είναι κυρτή
Για την περίπτωση των δύο μεταβλητών όπως τέθηκε παραπάνω ... εύλογα υποθέτω και θεωρώ την . Αρκεί, λόγω , να δειχθεί η για , αρκεί δηλαδή να δειχθεί η , για πάντοτε. Ύστερα από λίγες πράξεις παρατηρούμε ότι η ζητούμενη ανισότητα είναι ισοδύναμη προς την
όπου, από , έχουμε . Αρκεί δηλαδή να δειχθεί ότι είναι αύξουσα η . Ισχύει η
οπότε, επειδή χρειαζόμαστε την και ο αριθμητής της μηδενίζεται για ενώ ο παρονομαστής της αλλάζει πρόσημο στο , αρκεί να δειχθεί ότι ο αριθμητής είναι αύξουσα συνάρτηση του , κάτι που προκύπτει από την .
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ανισότητα με συνάρτηση!
Νομίζω ότι η απόδειξη του Γιώργου δίνει την ανισότητα και στην περίπτωση που
Ο λόγος είναι ότι αν θέσουμε τότε η είναι τουλάχιστον δυο φορές παραγωγίσιμη στο
Συμπλήρωμα .Η η είναι άπειρες φορές παραγωγίσιμη στο
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα με συνάρτηση!
Θεωρώ την συνάρτηση με τύπο για και . Η είναι κυρτή (*) οπότε από Jensen έχουμε
Θέτoντας παίρνω:
(*) Έχουμε οπότε αρκεί να δείξουμε ότι η είναι θετική για και αρνητική για . Όμως . Άρα η είναι γνησίως αύξουσα και επειδή το ζητούμενο έπεται. [Χρειάζεται λίγη προσοχή με τις παραγώγους του στο . Αν κοιτάξουμε το ανάπτυγμα Taylor παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει κάποιο πρόβλημα με αυτές τις παραγώγους και την ύπαρξη/συνέχειά τους στο .]
Θέτoντας παίρνω:
(*) Έχουμε οπότε αρκεί να δείξουμε ότι η είναι θετική για και αρνητική για . Όμως . Άρα η είναι γνησίως αύξουσα και επειδή το ζητούμενο έπεται. [Χρειάζεται λίγη προσοχή με τις παραγώγους του στο . Αν κοιτάξουμε το ανάπτυγμα Taylor παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει κάποιο πρόβλημα με αυτές τις παραγώγους και την ύπαρξη/συνέχειά τους στο .]
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης