ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 147
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Ιούλ 11, 2018 8:41 pm

Θεωρούμε n διακεκριμένα σημεία A_i(a_i),i=1,2,...,n πάνω σε μια ευθεία. Να βρεθεί σημείο B(b) της ευθείας για το οπoίο πετυχαίνουμε το

\displaystyle{min \sum_{i=1}^{n} |a_i-b| }.



Λέξεις Κλειδιά:
Altrian
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm

Re: ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Παρ Ιούλ 13, 2018 4:32 pm

Καλησπέρα,
Ζητάμε την ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των n αποστάσεων του σημείου b από κάθε σημείο a_i. Αν τα σημεία είναι 2 (n=2) τότε το ελάχιστο άθροισμα δίνεται από κάθε σημείο b ανάμεσα στα a_1, a_2 ίσο με την απόσταση αυτών. Αν n=3 με έστω το τρίτο σημείο εντός του διαστήματος \left [ a_1, a_2 \right ] τότε έχουμε ελάχιστο για b=a_3. Αν n=4 με διάταξη έστω a_1, a_2, a_3, a_4 τότε το ελάχιστο προκύπτει για κάθε σημείο b εντός του εσωτερικού κεντρικού διαστήματος \left [ a_2, a_3 \right ]. Ουσιαστικά μιλάμε για το median των τιμών a_1, a_2,....,a_n που είναι το μεσαίο σε διάταξη σημείο αν n περιττός ή κάθε σημείο του μεσαίου σε διάταξη τμήματος αν n άρτιος.
Σημ. Ο median χρησιμοποιείται συνήθως σε διαγωνισμούς προμηθειών του Δημοσίου για αποκλεισμό υπερβολικά χαμηλών ή υπερβολικά υψηλών προσφορών ως μέγιστη επιτρεπόμενη ποσοστιαία απόκλιση από το median όλων των προσφορών.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 147
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Ιούλ 13, 2018 7:02 pm

Altrian έγραψε:
Παρ Ιούλ 13, 2018 4:32 pm
Καλησπέρα,
Ζητάμε την ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των n αποστάσεων του σημείου b από κάθε σημείο a_i. Αν τα σημεία είναι 2 (n=2) τότε το ελάχιστο άθροισμα δίνεται από κάθε σημείο b ανάμεσα στα a_1, a_2 ίσο με την απόσταση αυτών. Αν n=3 με έστω το τρίτο σημείο εντός του διαστήματος \left [ a_1, a_2 \right ] τότε έχουμε ελάχιστο για b=a_3. Αν n=4 με διάταξη έστω a_1, a_2, a_3, a_4 τότε το ελάχιστο προκύπτει για κάθε σημείο b εντός του εσωτερικού κεντρικού διαστήματος \left [ a_2, a_3 \right ]. Ουσιαστικά μιλάμε για το median των τιμών a_1, a_2,....,a_n που είναι το μεσαίο σε διάταξη σημείο αν n περιττός ή κάθε σημείο του μεσαίου σε διάταξη τμήματος αν n άρτιος.
Σημ. Ο median χρησιμοποιείται συνήθως σε διαγωνισμούς προμηθειών του Δημοσίου για αποκλεισμό υπερβολικά χαμηλών ή υπερβολικά υψηλών προσφορών ως μέγιστη επιτρεπόμενη ποσοστιαία απόκλιση από το median όλων των προσφορών.
:clap2: Γεια σου φίλε μου. Το πρόβλημα είναι γνωστό στη ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΉ. Από εκεί το πήρα. Η διάμεσος βέβαια δεν

χρησιμοποιείται μόνο εκεί που αναφέρεις αλλά και αλλού. Μας έμεινε η απόδειξη.


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3820
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τετ Ιούλ 18, 2018 11:54 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Τετ Ιούλ 11, 2018 8:41 pm
Θεωρούμε n διακεκριμένα σημεία A_i(a_i),i=1,2,...,n πάνω σε μια ευθεία. Να βρεθεί σημείο B(b) της ευθείας για το οπoίο πετυχαίνουμε το

\displaystyle{min \sum_{i=1}^{n} |a_i-b| }.
Λάμπρο καλησπέρα,

Για n=7 (και όμοια για οποιοδήποτε περιττό) η απόδειξη είναι εδώ https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 88#p126088
Ακριβώς η ίδια μέθοδος του Δημήτρη λειτουργεί και για n άρτιο με την απάντηση να επιβεβαιώνει τα λεγόμενα του Altrian παραπάνω.

Αλέξανδρος

Υ.Γ. Ήμουν μαθητής στην Α Λυκείου εκείνη τη χρονιά... :)


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης