Quickie!

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6112
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Quickie!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Οκτ 06, 2018 2:04 pm

Σε συνέχεια αυτού:

Αν \displaystyle{f(x)=\frac{\sin x}{x},x\ne 0,~~f(0)=1,} να αποδείξετε ότι

\displaystyle{1+f(x)-f(y)\geq \frac{f(x+y)+f(x-y)}{2}} για όλα τα \displaystyle{x,y.}


Μάγκος Θάνος

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2051
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Quickie!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Οκτ 09, 2018 3:08 pm

matha έγραψε:
Σάβ Οκτ 06, 2018 2:04 pm
Σε συνέχεια αυτού:

Αν \displaystyle{f(x)=\frac{\sin x}{x},x\ne 0,~~f(0)=1,} να αποδείξετε ότι

\displaystyle{1+f(x)-f(y)\geq \frac{f(x+y)+f(x-y)}{2}} για όλα τα \displaystyle{x,y.}
Ωραίο.

Η ουσία είναι ότι η f είναι μετασχηματισμός Fourier της χαρακτηριστικής του [-1,1](mod σταθερές)

Ας το δούμε στοιχειωδώς.

Παρατηρούμε ότι (!!!!!)f(x)=\int_{-1}^{1}\dfrac{\cos xt}{2}dt

Ετσι έχουμε

1+f(x)-f(y)- \frac{f(x+y)+f(x-y)}{2}=\int_{-1}^{1}\frac{1}{2}+\frac{\cos xt}{2}-\frac{\cos yt}{2}-\frac{\cos (x+y)t} 
{4}-\frac{\cos (x-y)t}{4}dt=

\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}(1+\cos xt)(1-\cos yt)dt\geq 0


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2051
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Quickie!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Οκτ 11, 2018 9:17 am

Μια παραλλαγή της παραπάνω λύσης είναι :

Θεωρούμε την
g(t)=t+f(xt)-f(yt)-\dfrac{f((x+y)t)+f((x-y)t)}{2},t\in \mathbb{R}

Είναι
g'(t)=1+\cos xt-\cos yt-\dfrac{\cos (x+y)t+\cos (x-y)t}{2}=
1+\cos xt-\cos yt-\cos xt\cos yt=(1+\cos xt)(1-\cos yt)\geq 0

Αρα g(1)\geq g(0)=0

που δίνει την ζητούμενη.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6112
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Quickie!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Οκτ 11, 2018 7:35 pm

Με την ωραία παρέμβαση του Σταύρου, ακόμα μια απόδειξη η οποία δικαιολογεί τον τίτλο:

Ισχύει

\displaystyle{\int_{0}^{1}(\sin (ax)-\sin (bx))^2 \geq 0.}

Αυτή είναι η ζητούμενη!


Μάγκος Θάνος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2051
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Quickie!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Οκτ 12, 2018 12:35 pm

matha έγραψε:
Πέμ Οκτ 11, 2018 7:35 pm
Με την ωραία παρέμβαση του Σταύρου, ακόμα μια απόδειξη η οποία δικαιολογεί τον τίτλο:

Ισχύει

\displaystyle{\int_{0}^{1}(\sin (ax)-\sin (bx))^2 \geq 0.}

Αυτή είναι η ζητούμενη!
Γεια σου Θάνο.
Είναι κάτι που δεν βλέπω η ήθελες να γράψεις

\displaystyle{\int_{0}^{1}(\sin (\frac{(x+y)t}{2})-\sin (\frac{(x-y)t}{2}))^2dt \geq 0}

Πάντως το τελευταίο είναι ίδιο με το

\displaystyle{\int_{0}^{1}(1-\cos yt)(1+\cos xt)dt \geq 0}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης