Άσκηση στα όρια (7)

#1

Να αποδείξετε ότι αν $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f(x)+g(x))=+\infty}$ τότε για κάθε φυσικό $n\geq1$ είναι

$\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^n(x)+g^n(x))=+\infty}.$

#2

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 06, 2019 2:31 pm
Να αποδείξετε ότι αν $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f(x)+g(x))=+\infty}$ τότε για κάθε φυσικό $n\geq1$ είναι

$\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^n(x)+g^n(x))=+\infty}.$

Με χρήση της Holder, στην ειδική περίπτωση $ab+cd \le (a^p+c^p)^{\frac {1}{p}} (b^q+d^q)^{\frac {1}{q}}$ , για $a,b,c,d \ge 0$ , με 1/p+1/q=1

Για άρτια

έχουμε με

$f(x)+g(x) \le |f(x)|+|g(x)| \le (|f(x)|^n+|g(x)|^n)^{\frac {1}{n}} (1^q+1^q)^{\frac {1}{q}}=(f(x)^n+g(x)^n)^{\frac {1}{n}} 2^{\frac {1}{q}}$ και το ζητούμενο έπεται από ισοσυγκλίνουσες.

Η ίδια απόδειξη δίνει το ζητούμενο για περιττό

όταν $x\to \infty$ μέσω τιμών με $f(x)\ge 0, g(x)\ge 0$ . Μένει να εξετάσουμε τι γίνεται όταν $x\to \infty$ μέσω τιμών από τα υπόλοιπα

. Εργαζόμαστε επαγωγικά. Για το επαγωγικό βήμα λέμε:

Επειδή $f(x)+g(x) \to \infty$ , η παράσταση αυτή είναι θετική για μεγάλα

. Χωρίς βλάβη $f(x)\ge 0 \ge g(x)$ , οπότε $-f(x)g(x) \ge 0$ . Επίσης από την επαγωγική υπόθεση είναι $f(x)^{2n-1}+g(x)^{2n-1} \ge 0$ για μεγάλα

. Έχουμε τότε

$\displaystyle{f(x)^{2n+1}+g(x)^{2n+1} = (f(x)^{2n}+g(x)^{2n}})(f(x)+g(x)) - f(x)g(x)( f(x)^{2n-1}+g(x)^{2n-1})}$

$\displaystyle{ \ge (f(x)^{2n}+g(x)^{2n})(f(x)+g(x))}$ , και λοιπά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Νομίζω ότι επαγωγικά μπορεί να αποδειχθεί ότι :

Αν $a,b\in \mathbb{R}$ με $a+b\geq 0$

τότε για κάθε $n\in \mathbb{N}$

είναι

$\frac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{n}$

Χρησιμοποιώντας το παραπάνω είναι τετριμμένη.

Άσκηση στα όρια (7)

Άσκηση στα όρια (7)

Re: Άσκηση στα όρια (7)

Re: Άσκηση στα όρια (7)

Μέλη σε σύνδεση