Σύστημα ( III )

Tolaso J Kos · #1

Να λυθεί πάνω από το $\mathbb{R}$ το σύστημα:

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \left ( m^2-1 \right )^2+3 & = &\dfrac{6m^5n}{m^2+2} \\\\ 3n-m & = & \sqrt{\dfrac{4m-3m^2n-9mn^2}{m+3n}} \end{matrix}\right.}$

Christos.N · #2

Επαναφορά

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 01, 2019 11:47 am
Να λυθεί πάνω από το $\mathbb{R}$ το σύστημα:

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \left ( m^2-1 \right )^2+3 & = &\dfrac{6m^5n}{m^2+2} \\\\ 3n-m & = & \sqrt{\dfrac{4m-3m^2n-9mn^2}{m+3n}} \end{matrix}\right.}$

Στηρίζομαι στην ταυτότητα $\boxed{(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3}$ (εκτός αν υπάρχει κάποιο τέχνασμα που δεν βλέπω).

Από την πρώτη εξίσωση παίρνω: $\boxed{n = \frac{{{m^6} + 8}}{{6{m^5}}}}$ με mn>0

και υψώνω τη δεύτερη στο τετράγωνο για $3n\ge m$ :

$\displaystyle {(3n - m)^2} = \frac{{4m}}{{m + 3n}} - 3mn \Leftrightarrow (9{n^2} - 3mn + {m^2})(m + 3n) = 4m \Leftrightarrow$ $\boxed{n = \frac{1}{3}\sqrt[3]{{4m - {m^3}}}}$

Τέλος θέτω $\displaystyle n = \frac{m}{x},x > 0$ και καταλήγω στην $\displaystyle 3{x^9} - 16{x^8} + 27{x^6} + 729{x^3} + 6561 = 0$ που γράφεται:

$\displaystyle ({x^3} - 6{x^2} + 27)(3{x^6} + 2{x^5} + 12{x^4} + 18{x^3} + 54{x^2} + 243) = 0.$ Επειδή όμως x>0,

θα είναι

$x^3-6x^2+27=0\Rightarrow$ x=3

ή $x=\dfrac{3}{2}(\sqrt 5+1),$ απ' όπου τελικά(αν δεν έχει γίνει κάποιο λάθος) παίρνω:

$\boxed{m = \sqrt 2 ,n = \frac{{\sqrt 2 }}{3}}$ ή $\boxed{m = -\sqrt 2 ,n =- \frac{{\sqrt 2 }}{3}}$ ή $\boxed{m = - \sqrt {\sqrt 5 + 1} ,n = - \frac{{\sqrt {\sqrt 5 - 1} }}{3}}$

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 01, 2019 11:47 am
Να λυθεί πάνω από το $\mathbb{R}$ το σύστημα:

Τι σημαίνει πάνω από το $\mathbb{R};$ Μήπως είναι μετάφραση από τ' αγγλικά;

Σύστημα ( III )

Σύστημα ( III )

Re: Σύστημα ( III )

Re: Σύστημα ( III )

Μέλη σε σύνδεση