Ανισότητα με λογάριθμους

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3998
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Ανισότητα με λογάριθμους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Κυρ Μάιος 03, 2020 1:09 pm

Για τους θετικούς αριθμούς a,b,c με a<b<c να δείξετε ότι:

ab\ln{\dfrac{a}{b}}+bc\ln{\dfrac{b}{c}}<ac\ln{\dfrac{a}{c}}

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3209
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα με λογάριθμους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μάιος 03, 2020 2:10 pm

cretanman έγραψε:
Κυρ Μάιος 03, 2020 1:09 pm
Για τους θετικούς αριθμούς a,b,c με a<b<c να δείξετε ότι:

ab\ln{\dfrac{a}{b}}+bc\ln{\dfrac{b}{c}}<ac\ln{\dfrac{a}{c}}

Αλέξανδρος


Θεωρούμε την
f(x)=ax\ln{\dfrac{a}{x}}+xc\ln{\dfrac{x}{c}}-ac\ln{\dfrac{a}{c}}
για
a<x<c.

Είναι f(a)=f(c)=0

Επίσης

f''(x)=\dfrac {1}{x}(c-a)>0

Αρα η f είναι γνήσια κυρτή .Παίρνει μέγιστη τιμή σε ένα από τα άκρα.

Αρα f(b)<0


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3998
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα με λογάριθμους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Κυρ Μάιος 03, 2020 3:12 pm

Σ' ευχαριστώ πολύ Σταύρο για την ενασχόληση (την ίδια ακριβώς λύση με τη δική σου έκανε και ο Θάνος Μάγκος όταν του την έστειλα το πρωί σε μήνυμα). Η άσκηση αυτή προέκυψε από εφαρμογή του ΘΜΤ στο [a,b] και [b,c] για τη συνάρτηση f(x)=x\ln{x}+x και μετά λίγες πράξεις.
Ο λόγος που την έβαλα ήταν γιατί αναρωτήθηκα αν υπήρχε λύση καθαρά αλγεβρική με ύλη έως Β Λυκείου χωρίς χρήση λογισμού και γιατί μου φάνηκε όμορφο και κομψό το αποτέλεσμα.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες