Μέγιστα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

1)Για

να βρεθεί το μέγιστο της

$\displaystyle \frac{x(1-x)y(1-y)}{1-xy}$

2)Για
0<x<1,0<y<1,0<z<1

να βρεθεί το μέγιστο της

$\displaystyle \frac{x(1-x)y(1-y)z(1-z)}{1-(1-xy)z}$

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 13, 2020 10:27 pm
1)Για

να βρεθεί το μέγιστο της

$\displaystyle K=\frac{x(1-x)y(1-y)}{1-xy}$

Ας είναι $\displaystyle{a=x+y, b=xy,}$ οπότε $\displaystyle{b\in (0,1)}$ και $\displaystyle{a\geq 2\sqrt{b}.}$

Τότε έχουμε

$\displaystyle{K=\frac{b(1+b-a)}{1-b}\leq \frac{b(1+b-2\sqrt{b})}{1-b}.}$

Η συνάρτηση $\displaystyle{f(b)=\frac{b(1+b-2\sqrt{b})}{1-b},~~b\in (0,1)}$

έχει $\displaystyle{f'(b)=-\frac{b+\sqrt{b}-1}{(1+\sqrt{b})^2},}$ οπότε εύκολα βλέπουμε ότι παρουσιάζει

μέγιστο στο $\displaystyle{b_0=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$ , το $\displaystyle{\frac{5\sqrt{5}-11}{2}.}$

Επομένως ισχύει

$\displaystyle{\max K=\frac{5\sqrt{5}-11}{2}}$ για $\displaystyle{x=y=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

matha έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 14, 2020 9:03 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 13, 2020 10:27 pm
1)Για

να βρεθεί το μέγιστο της

$\displaystyle K=\frac{x(1-x)y(1-y)}{1-xy}$

Ας είναι $\displaystyle{a=x+y, b=xy,}$ οπότε $\displaystyle{b\in (0,1)}$ και $\displaystyle{a\geq 2\sqrt{b}.}$

Τότε έχουμε

$\displaystyle{K=\frac{b(1+b-a)}{1-b}\leq \frac{b(1+b-2\sqrt{b})}{1-b}.}$

Η συνάρτηση $\displaystyle{f(b)=\frac{b(1+b-2\sqrt{b})}{1-b},~~b\in (0,1)}$

έχει $\displaystyle{f'(b)=-\frac{b+\sqrt{b}-1}{(1+\sqrt{b})^2},}$ οπότε εύκολα βλέπουμε ότι παρουσιάζει

μέγιστο στο $\displaystyle{b_0=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$ , το $\displaystyle{\frac{5\sqrt{5}-11}{2}.}$

Επομένως ισχύει

$\displaystyle{\max K=\frac{5\sqrt{5}-11}{2}}$ για $\displaystyle{x=y=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.}$

Σωστά.

Το ενδιαφέρον είναι ότι $\displaystyle \frac{5\sqrt{5}-11}{2}}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{5}$

Να αναφέρω ότι η ανισότητα είναι λήμμα για μια απόδειξη.

Η λύση μου είναι διαφορετική από του Θάνου.Με πιο βαρεια εργαλεία.
Ούτε στην δική μου βγαίνει το $\displaystyle (\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{5}$ με φυσιολογικό τρόπο.
Ισως κάποια στιγμή την περιγράψω.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

2)Για

να βρεθεί το μέγιστο της

$\displaystyle \frac{x(1-x)y(1-y)z(1-z)}{1-(1-xy)z}$

Επαναφορά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 17, 2020 11:22 pm
Για

να βρεθεί το μέγιστο της

$\displaystyle \frac{x(1-x)y(1-y)z(1-z)}{1-(1-xy)z}$

Για να δούμε την λύση.
Θέτουμε
$\displaystyle f(x,y,z)= \frac{x(1-x)y(1-y)z(1-z)}{1-(1-xy)z}$

Επειδή ο παρανομαστής είναι $\displaystyle 1-z+xyz$
εύκολα βλέπουμε ότι

$\displaystyle f(x,y,z)\leq min(x(1-x)y(1-y)z,(1-x)y(1-y)(1-z))$

Για $0< \epsilon < 1$
βλέπουμε ότι αν βγούμε από το χωρίο
$\epsilon \leq x\leq 1-\epsilon ,\epsilon \leq y\leq 1-\epsilon,\epsilon \leq z\leq 1-\epsilon$

οι τιμές της συνάρτησης δεν ξεπερνούν το $\epsilon$ .

Λόγω συμπάγειας κλπ το μέγιστο θα είναι εκεί που

f_x=0,f_y=0,f_z=0

.

Η

δίνει
$\displaystyle 1-z-2x+2xz-x^2yz=0$ (1)

Ενω η f_y=0

δίνει
$\displaystyle 1-z-2y+2yz-y^2xz=0}$ (2)

Από (1),(2) προκύπτει ότι
$\displaystyle (x-y)(2-2z+xyz)=0$

Αρα x=y

Ετσι η

γίνεται
$\displaystyle 1-2z+z^2-z^2x^2=0$

Από την τελευταία προκύπτει ότι $\displaystyle z=\frac{1}{1+x}$

Από την (1) προκύπτει ότι

$\displaystyle x=\sqrt{2}-1$

Το μέγιστο το λαμβάνει στο

$(\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1,\frac{1}{\sqrt{2}})$

Η τιμή της συνάρτησης σε αυτό είναι

$(\sqrt{2}-1)^{4}$ !!!

Συμπλήρωμα.
Το πρόβλημα προήλθε από το
viewtopic.php?f=95&t=67135

Μέγιστα

Μέγιστα

Re: Μέγιστα

Re: Μέγιστα

Re: Μέγιστα

Re: Μέγιστα

Μέλη σε σύνδεση