Το ζ(3) είναι άρρητος

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3209
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Το ζ(3) είναι άρρητος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Μάιος 14, 2020 10:42 pm

Θεωρούνται γνωστά τα
1)Αν d_{n}
είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των
1,2,3,.....,n
τότε υπάρχει n_0
ώστε
\displaystyle d_{n}<3^n για κάθε n με n>n_0
2)
Το πολυώνυμο
\displaystyle P_{n}(x)=\frac{1}{n!}(x^n(1-x)^n)^{(n)}
έχει ακέραιους συντελεστές

3)Αν r>s φυσικοί τότε
Το \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{(-\ln xy)x^{r}y^{s}}{1-xy}dxdy

είναι ρητός αριθμός που ο παρανομαστής του διαιρεί το d_{r}^3
Αν r=s φυσικοί τότε
\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{(-\ln xy)x^{r}y^{r}}{1-xy}dxdy=2(\zeta (3)-\sum_{k=1}^{r}\frac{1}{k^3})


4)Για
0<x<1,0<y<1,0<z<1
ισχύει
\displaystyle   \frac{x(1-x)y(1-y)z(1-z)}{1-(1-xy)z}\leq(\sqrt{2}-1)^{4}


Χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα

\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{(-\ln xy)}{1-xy}P_{n}(x)P_{n}(y)dxdy

καθώς και το γεγονός ότι

\displaystyle \frac{(-\ln xy)}{1-xy}= \int_{0}^{1}\frac{1}{1-(1-xy)w}dw

να δειχθεί ότι το \zeta (3) είναι άρρητος.


Το πρόβλημα αν το \zeta (3) είναι ρητός η άρρητος ήταν ανοικτό μέχρι τον Ιούνιο του 1978.Τότε δημοσιεύθηκε η πρώτη απόδειξη από τον Ελληνα μαθηματικό R.Apery(πατέρας Ελληνας μητέρα Γαλλίδα).Η απόδειξη που θα γίνει παραπάνω δεν είναι ίδια με αυτή του Apery.Χρησιμοποιεί όμως κάποιες από τις ιδέες του.Οταν ολοκληρωθεί θα γράψω από ποιο paper είναι

Οι αποδείξεις των 1) 2) 3) 4) υπάρχουν η θα υπάρξουν στα
viewtopic.php?f=95&t=67129
viewtopic.php?f=95&t=67120
viewtopic.php?f=95&t=67119

Για τον Apery
https://en.wikipedia.org/wiki/Roger_Ap%C3%A9ry



Λέξεις Κλειδιά:
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης