Ανισότητα σιδηρόδρομος

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3209
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Ανισότητα σιδηρόδρομος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιούλ 18, 2020 9:24 am

Δίνονται οι πραγματικοί

a_1,a_2,.....a_n
b_1,b_2,.....b_n
c_1,c_2,.....c_n
οπου n>2

Να αποδειχθεί ότι

\displaystyle (\sum_{i=1}^{n}a_i^2)(\sum_{i=1}^{n}b_ic_i)^2+(\sum_{i=1}^{n}b_i^2)(\sum_{i=1}^{n}a_ic_i)^2\leq
\displaystyle  (\sum_{i=1}^{n}a_i^2)^{\frac{1}{2}}(\sum_{i=1}^{n}b_i^2)^{\frac{1}{2}}(\sum_{i=1}^{n}c_i^2)((\sum_{i=1}^{n}a_i^2)^{\frac{1}{2}}(\sum_{i=1}^{n}b_i^2)^{\frac{1}{2}}+|(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)|)

Η ανισότητα μπορεί να πάρει την μορφή

Δίνονται τα διανύσματα  a , b , c \in \mathbb{R}^{n} , δείξτε ότι:
 \displaystyle \big[ || a || \cdot < b , c >\big]^{2} + \big[ || b || \cdot < a , c >\big]^{2} \leqslant || a || \cdot || b || \cdot \big[ || a || \cdot || b || + | < a , b > | \big] \cdot || c ||^{2}
όπου  < x , y > είναι το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στον  \mathbb{R}^{n} ,  x , y \in \mathbb{R}^{n}

που υπάρχει στο λινκ που έβαλε ο Μιχάλης στο παρακάτω.

Την ξαναβάζω γιατί στο λινκ έχουν μπερδευτεί λίγο οι αναρτήσεις
με ευθύνη του TrltOs.

για διαφόρους λόγους έχει αλλάξει η μορφή της ανάρτησης.
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Σάβ Ιούλ 18, 2020 1:34 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12422
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανισότητα σιδηρόδρομος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιούλ 18, 2020 9:41 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Ιούλ 18, 2020 9:24 am
Δίνονται οι πραγματικοί

a_1,a_2,.....a_n
b_1,b_2,.....b_n
c_1,c_2,.....c_n
οπου n>2

Να αποδειχθεί ότι

(\sum_{i=1}^{n}a_i^2)(\sum_{i=1}^{n}b_ic_i)^2+(\sum_{i=1}^{n}b_i^2)(\sum_{i=1}^{n}a_ic_i)^2\leq
 (\sum_{i=1}^{n}a_i^2)^{\frac{1}{2}}(\sum_{i=1}^{n}b_i^2)^{\frac{1}{2}}(\sum_{i=1}^{n}c_i^2)((\sum_{i=1}^{n}a_i^2)^{\frac{1}{2}}(\sum_{i=1}^{n}b_i^2)^{\frac{1}{2}}+|(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)|)
Ξέρω ότι το χαλάω τώρα αλλά...
.
είναι ειδική περίπτωση αυτής
που είδαμε πρόσφατα στο φόρουμ.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8484
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα σιδηρόδρομος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιούλ 18, 2020 9:35 pm

Μιχάλη, έχει γίνει ένα μπέρδεμα στο θέμα που αναφέρεσαι. Η ανισότητα δεν έχει ακόμη αποδειχθεί.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12422
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανισότητα σιδηρόδρομος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιούλ 19, 2020 1:43 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Ιούλ 18, 2020 9:24 am


Δίνονται τα διανύσματα  a , b , c \in \mathbb{R}^{n} , δείξτε ότι:
 \displaystyle \big[ || a || \cdot < b , c >\big]^{2} + \big[ || b || \cdot < a , c >\big]^{2} \leqslant || a || \cdot || b || \cdot \big[ || a || \cdot || b || + | < a , b > | \big] \cdot || c ||^{2}
όπου  < x , y > είναι το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στον  \mathbb{R}^{n} ,  x , y \in \mathbb{R}^{n}
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα  a , b , c \in \mathbb{R}^{n} είναι μη μηδενικά γιατί αλλιώς το αποδεικτέο ισχύει ως ισότητα 0=0. Επίσης, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το a με \frac {a} {||a||}, (το ||a|| απλοποιείται) οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι ||a||=1. Όμοια μπορούμε να υποθέσουμε ότι ||b||= ||c||=1 οπότε το αποδεικτέο συμμαζεύεται ως

 \displaystyle  < b , c >^{2} +  < a , c >^{2} \leqslant 1 + | < a , b > |

Επίσης μπορούμε να υποθέσουμε ότι το c είναι στο επίπεδο που παράγουν τα a,b (γιατί αλλιώς c=c_1+c_2 με c_1 στο εν λόγω επίπεδο και c_2 κάθετο σε αυτό, οπότε < b , c >= < b , c_1 >+ < b , c_2 >= < b , c_1 > , και όμοια < a , c >= < a , c_1 >. Επίσης στο δεξί μέλος έχουμε πλεονέκτημα αφού λόγω καθετότητας \displaystyle{||c_1||^2\le ||c_1||^2+||c_2||^2=||c||^2}, και λοιπά).

Αν \theta , \, \phi οι γωνίες που σχηματίζει το c με τα a,b, αντίστοιχα, τότε η γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους τα a,b είναι \theta \pm \phi (ανάλογα αν το c είναι "μεταξύ" τους ή όχι). Το αποδεικτέο τώρα γίνεται

\cos ^2 \theta + \cos ^2 \phi \le 1 +|\cos (\theta \pm \phi)|

Αυτό ισχύει αφού

\cos ^2 \theta + \cos ^2 \phi = \dfrac {\cos 2\theta +1}{2} + \dfrac {\cos 2\phi +1}{2} = 1+ \dfrac {\cos 2\theta +\cos 2\phi }{2} =

\displaystyle{=1+ \cos (\theta +\phi) \cos (\theta -\phi) \le 1+|\cos (\theta +\phi) \cos (\theta -\phi)| \le 1 +|\cos (\theta \pm \phi)|}, όπως θέλαμε.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3209
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα σιδηρόδρομος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιούλ 20, 2020 10:28 pm

Θα γράψω μια διαφορετική απόδειξη.
Εχει το πλεονέκτημα ότι το εσωτερικό γινόμενο δεν είναι κατ ανάγκη το σύνηθες.
Για να είναι πλήρης η απόδειξη θα αντιγράψω τα αρχικά από την απόδειξη
που έδωσε ο Μιχάλης.
(πιστεύω ότι μου το επιτρέπει)

Συγκεκριμένα θα αποδείξω ότι

Δίνονται τα διανύσματα  a , b , c \in \mathbb{R}^{n} , δείξτε ότι:
 \displaystyle \big[ || a || \cdot < b , c >\big]^{2} + \big[ || b || \cdot < a , c >\big]^{2} \leqslant || a || \cdot || b || \cdot \big[ || a || \cdot || b || + | < a , b > | \big] \cdot || c ||^{2}
όπου  < x , y > είναι ένα εσωτερικό γινόμενο στον  \mathbb{R}^{n} ,  x , y \in \mathbb{R}^{n}



Μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα  a , b , c \in \mathbb{R}^{n} είναι μη μηδενικά γιατί αλλιώς το αποδεικτέο ισχύει ως ισότητα 0=0. Επίσης, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το a με \frac {a} {||a||}, (το ||a|| απλοποιείται) οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι ||a||=1. Όμοια μπορούμε να υποθέσουμε ότι ||b||= ||c||=1 οπότε το αποδεικτέο συμμαζεύεται ως

 \displaystyle  < b , c >^{2} +  < a , c >^{2} \leqslant 1 + | < a , b > | (1)

Θεωρούμε το επίπεδο που παράγουν τα a,b.
(αν τα a,b είναι συγραμμικά η ανισότητα είναι τετριμμένη)
Γράφουμε c=c_1+c_2 με c_1 στο εν λόγω επίπεδο και c_2 κάθετο σε αυτό, οπότε < b , c >= < b , c_1 >+ < b , c_2 >= < b , c_1 > , και όμοια < a , c >= < a , c_1 >.

Ετσι η (1) γίνεται

 \displaystyle  < b , c_1 >^{2} +  < a , c_1 >^{2} \leqslant 1 + | < a , b > | (2)

με ||a||=1=||b|| και ||c_1||\leq 1

Αντικαθιστώντας το a με το -a αν χρειάζεται μπορούμε να υποθέσουμε ότι το k=< a , b >
πληρεί την 0\leq k\leq 1


Γράφοντας c_{1}=\lambda a+\mu b όπου \lambda ,\mu \in \mathbb{R}
και κάνοντας τις πράξεις η (2) γίνεται

\displaystyle k^2(\lambda ^{2}+\mu ^{2})+(\lambda ^{2}+\mu ^{2})+4k\lambda \mu\leq 1+k(3)

Αλλά η ||c_1||\leq 1 δίνει ότι

\displaystyle (\lambda ^{2}+\mu ^{2})+2k\lambda \mu\leq 1(4)

Για να αποδείξουμε την (3) αρκεί λόγω της (4) να αποδείξουμε ότι

\displaystyle k^2(\lambda ^{2}+\mu ^{2})+2k\lambda \mu\leq k

η ότι

\displaystyle k(\lambda ^{2}+\mu ^{2})+2\lambda \mu\leq 1

Η τελευταία ισχύει γιατί λαμβάνοντας υπ οψιν την (4) έχουμε

\displaystyle k(\lambda ^{2}+\mu ^{2})+2\lambda \mu\ - 1 \leq k(\lambda ^{2}+\mu ^{2})+ 2\lambda \mu\ -(\lambda ^{2}+\mu ^{2})- 2k\lambda \mu\ = (k-1)(\lambda - \mu\ )^{2}\leq 0


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης