U-527 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σας προτείνω το θέμα U-527 από το τέταρτο τεύχος των Mathematical Reflections του 2020.
Το θέμα προτείνει ο Nguyen Viet Hung, Hanoi University of Science, Vietnam.
Η ημερομηνία υποβολής των λύσεων ήταν η 15η Σεπτεμβρίου 2020 , η οποία παρήλθε. Έτσι έχω όλη την άνεση να το μοιραστώ μαζί σας...

Βρείτε την μικρότερη σταθερά

έτσι ώστε να ισχύει $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{k^{4}+4}< C$

για όλους τους θετικούς ακέραιους

.

#2

Ουσιαστικά θέλει το

$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^4+4} &= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{(k^2-2k+2)(k^2+2k+2)} \\ &= \frac{1}{4}\sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k^2-2k+2} - \frac{1}{k^2+2k+2}\right) \\ &= \frac{1}{4}\sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{(k-1)^2+1} - \frac{1}{(k+1)^2+1}\right) \\ &= \frac{1}{4}\left(\frac{1}{0^2+1} + \frac{1}{1^2+1} \right) = \frac{3}{8}. \end{align}$

U-527 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

U-527 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: U-527 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Μέλη σε σύνδεση