Σύνολο ριζών οικογένειας πολυωνύμων

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

ksofsa
Δημοσιεύσεις: 288
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm

Σύνολο ριζών οικογένειας πολυωνύμων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Παρ Νοέμ 26, 2021 4:43 pm

Καλησπέρα!

Στην προσπάθεια για κάτι άλλο, κατέληξα στο παρακάτω. Το δίνω προς απόδειξη (ή απόρριψη, αν έχει γίνει λάθος στην απόδειξη που έκανα).

Να αποδειχθεί ή να απορριφτεί καθένας από τους παρακάτω ισχυρισμούς:

Έστω S υποσύνολο του R με κανένα σημείο συσσώρευσης.
1)Έστω τριώνυμο f(x)=x^2+ax+b, με a,b\epsilon S. Τότε, όλες οι πραγματικές ρίζες του f(x) για τις διάφορες τιμές των a,b σχηματίζουν υποσύνολο του R με κανένα σημείο συσσώρευσης.
2)Έστω πολυώνυμο f(x)=x^3+ax^2+bx+c, με a,b,c\epsilon S.Τότε, όλες οι πραγματικές ρίζες του f(x) για τις διάφορες τιμές των a,b,c σχηματίζουν υποσύνολο του R με κανένα σημείο συσσώρευσης.
3)Έστω πολυώνυμο f(x)=x^n+a_{n}x^{n-1}+...+a_{2}x+a_{1}, με a_{1},a_{2},...,a_{n}\epsilon S.Τότε, όλες οι πραγματικές ρίζες του f(x) για τις διάφορες τιμές των a_{1},a_{2},...,a_{n} σχηματίζουν υποσύνολο του R με κανένα σημείο συσσώρευσης.


Κώστας Σφακιανάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13890
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύνολο ριζών οικογένειας πολυωνύμων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 26, 2021 7:38 pm

ksofsa έγραψε:
Παρ Νοέμ 26, 2021 4:43 pm
Να αποδειχθεί ή να απορριφτεί καθένας από τους παρακάτω ισχυρισμούς:

Έστω S υποσύνολο του R με κανένα σημείο συσσώρευσης.
1)Έστω τριώνυμο f(x)=x^2+ax+b, με a,b\epsilon S. Τότε, όλες οι πραγματικές ρίζες του f(x) για τις διάφορες τιμές των a,b σχηματίζουν υποσύνολο του R με κανένα σημείο συσσώρευσης.
Δεν ισχύει.

Αρκεί να το δούμε για το 1). Κατά μείζονα λόγο δεν ισχύει για τα μεγαλύτερο βαμθού πολυώνυμα (το βλέπουμε π.χ. παίρνοντας τους συντελεστές των x^{n-3} και κάτω ίσους με το μηδέν).

Για το σύνολο S = \{ n^2,\ | \, n \in \mathbb N^*\} \cup  \{ -n - \dfrac {1}{n^2} ,\ | \, n \in \mathbb N^*\} παρατηρούμε ότι τα στοιχεία του είναι διακριτά (απέχουν τουλάχιστον 1/2, οπότε δεν έχουν σ.σ.). Από την άλλη το πολυώνυμο

x^2 + n^2x - \left (n  +\dfrac {1}{n^2} \right )

έχει ρίζα τον αριθμό

\dfrac {1}{2} \left ( -n^2+ \sqrt { n^4+4 \left (n  + \dfrac {1}{n^2} \right )\right ) = \dfrac {1}{2} \left  ( -n^2+ \left  ( n^2+  \dfrac {2}{n} \right ) \right ) = \dfrac {1}{n} \to 0


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 288
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm

Re: Σύνολο ριζών οικογένειας πολυωνύμων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Παρ Νοέμ 26, 2021 9:02 pm

Κύριε Λάμπρου, σας ευχαριστώ για την απάντηση!

Αναρωτιέμαι αν ισχύουν οι ισχυρισμοί για κάποια σύνολα S.

Αν , για παράδειγμα, S\equiv Z, αληθεύουν οι ισχυρισμοί;

Το θέτω ως συμπληρωματικό ερώτημα στο αρχικό θέμα.


Κώστας Σφακιανάκης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13890
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύνολο ριζών οικογένειας πολυωνύμων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 26, 2021 9:50 pm

ksofsa έγραψε:
Παρ Νοέμ 26, 2021 9:02 pm

Αναρωτιέμαι αν ισχύουν οι ισχυρισμοί για κάποια σύνολα S.

Αν , για παράδειγμα, S\equiv Z, αληθεύουν οι ισχυρισμοί;

Το θέτω ως συμπληρωματικό ερώτημα στο αρχικό θέμα.
Περιέργως, και στην περίπτωση που το σύνολο αναφοράς είναι το \mathbb Z, πάλι οι ρίζες μπορεί να έχουν σημείο συσσώρευσης. Για παράδειγμα το πολυώνυμο

x^2-n^2x+n έχει ρίζα

0\le \dfrac  {n^2- \sqrt {n^4-4n}}{2} = \dfrac {4n }{2(n^2+ \sqrt {n^4-4n})} \le \dfrac {4n }{2n^2} \to 0


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 288
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm

Re: Σύνολο ριζών οικογένειας πολυωνύμων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Σάβ Νοέμ 27, 2021 11:31 am

Με το συλλογισμό του κυρίου Λάμπρου αποδεικνύεται ότι
αν S οποιοδήποτε άπειρο υποσύνολο του R με κανένα σημείο συσσώρευσης, τότε το σύνολο των ριζών του τριωνύμου x^2+ax+b,a,b\epsilon S έχει το 0 σημείο συσσώρευσης.

Πράγματι, θα υπάρχει ακολουθία s_{n} όρων του S, με s_{n}\rightarrow +\infty ή s_{n}\rightarrow -\infty.

Έστω s_{n}\rightarrow +\infty.

Θεωρώ την ακολουθία τριωνύμων f_{n}(x)=x^2+s_{n}x+s_{1}, με ρίζα

0\geq \dfrac{-s_{n}+\sqrt{s_{n}^2-4s_{1}}}{2}=-\dfrac{2s_{1}}{s_{n}+\sqrt{s_{n}^2-4s_{1}}}\geq -\dfrac{2s_{1}}{s_{n}}\rightarrow 0.

Θεωρήθηκε ότι s_{1}> 0, αφού τελικά οι όροι της ακολουθίας είναι θετικοί.

Η περίπτωση για s_{n}\rightarrow -\infty αποδεικνύεται αναλόγως.

Εδώ αναφύονται διάφορα ερωτήματα, όπως αν ισχύει κάτι ανάλογο για μεγαλύτερου βαθμού πολυώνυμα, ερωτήματα για την ύπαρξη ή όχι άλλων σημείων συσσώρευσης, αν τα σημεία συσσώρευσης είναι άπειρα ή πεπερασμένα. Ενδεχομένως , υπό το πρίσμα κάποιας θεωρίας τα ερωτήματα αυτά να γίνονται τετριμμένα.


Κώστας Σφακιανάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης