Τριχοτομήσιμη αλλά μη κατασκευάσιμη γωνία
Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Τριχοτομήσιμη αλλά μη κατασκευάσιμη γωνία
Να δώσετε παράδειγμα οξείας γωνίας η οποία
α) δεν κατασκευάζεται με κανόνα και διαβήτη αλλά, συγχρόνως,
β) αν κάποιος σας την ζωγραφίσει (εννοείται χρησιμοποιώντας όργανα πέρα από τον κανόνα και διαβήτη) τότε εσείς θα μπορέσετε να την τριχοτομήσετε χρησιμοποιώντας κανόνα και διαβήτη.
Σχόλιο: Ανάρτησα το ποστ στον φάκελο του Καθηγητή για να μπορώ να χρησιμοποιήσω θεωρήματα (π.χ. Wantzel) τα οποία δεν έχουν δει οι μαθητές. Από εκεί και πέρα, η απάντηση/λύση στο παραπάνω ερώτημα είναι αφοπλιστικά απλή. Έχω κατά νου μία πολύ ωραία και απλή γωνία η οποία έχει τις ζητούμενες ιδιότητες αλλά δεν αμφιβάλλω ότι υπάρχουν πολλά άλλα απλά παραδείγματα.
α) δεν κατασκευάζεται με κανόνα και διαβήτη αλλά, συγχρόνως,
β) αν κάποιος σας την ζωγραφίσει (εννοείται χρησιμοποιώντας όργανα πέρα από τον κανόνα και διαβήτη) τότε εσείς θα μπορέσετε να την τριχοτομήσετε χρησιμοποιώντας κανόνα και διαβήτη.
Σχόλιο: Ανάρτησα το ποστ στον φάκελο του Καθηγητή για να μπορώ να χρησιμοποιήσω θεωρήματα (π.χ. Wantzel) τα οποία δεν έχουν δει οι μαθητές. Από εκεί και πέρα, η απάντηση/λύση στο παραπάνω ερώτημα είναι αφοπλιστικά απλή. Έχω κατά νου μία πολύ ωραία και απλή γωνία η οποία έχει τις ζητούμενες ιδιότητες αλλά δεν αμφιβάλλω ότι υπάρχουν πολλά άλλα απλά παραδείγματα.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Τριχοτομήσιμη αλλά μη κατασκευάσιμη γωνία
Για παράδειγμα για , ( οπότε : ) , τριχοτομούμε την .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Τριχοτομήσιμη αλλά μη κατασκευάσιμη γωνία
Θανάση, σωστά, αλλά νομίζω ότι δεν απαντάς στο ερώτημα. Στο σχήμα σου αυτή που σου δίνουν είναι η αλλά τριχοτομείς την . H ερώτηση ζητά να τριχοτομήσεις αυτήν που σου δίνουν. Μάλλον διορθώνεται, αλλά δεν το βλέπω (ακόμα δεν ήπια καφέ).
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Τριχοτομήσιμη αλλά μη κατασκευάσιμη γωνία
Έστω .
Λήμμα 1: Η γωνία κατασκευάζεται αν και μόνο αν κατασκευάζεται και η γωνία .
Απόδειξη: Από τη εύκολα κατασκευάζουμε την . Από την κατασκευάζουμε την και ακολούθως την .
Λήμμα 2: Η γωνία δεν κατασκευάζεται.
Απόδειξη: Σε αντίθετη περίπτωση θα κατασκευαζόταν και η οπότε θα κατασκευαζόταν και το κανονικό 13-γωνο το οποίο γνωρίζουμε όμως ότι δεν κατασκευάζεται.
Από τα πιο πάνω η δεν είναι κατασκευάσιμη αλλά αν μας δοθεί τότε μπορούμε να την τριχοτομήσουμε.
Λήμμα 1: Η γωνία κατασκευάζεται αν και μόνο αν κατασκευάζεται και η γωνία .
Απόδειξη: Από τη εύκολα κατασκευάζουμε την . Από την κατασκευάζουμε την και ακολούθως την .
Λήμμα 2: Η γωνία δεν κατασκευάζεται.
Απόδειξη: Σε αντίθετη περίπτωση θα κατασκευαζόταν και η οπότε θα κατασκευαζόταν και το κανονικό 13-γωνο το οποίο γνωρίζουμε όμως ότι δεν κατασκευάζεται.
Από τα πιο πάνω η δεν είναι κατασκευάσιμη αλλά αν μας δοθεί τότε μπορούμε να την τριχοτομήσουμε.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Τριχοτομήσιμη αλλά μη κατασκευάσιμη γωνία
Ακριβώς αυτό είχα στον νου αλλά με την γωνία . Aν κατασκευαζόταν με κανόνα και διαβήτη, τότε θα κατασκευαζόναν και η , και άρα θα κατασκευαζόταν το κανονικό επτάγωνο (που δεν γίνεται από Gauss ή Wantzel).
Αν τώρα κάποιος σχεδιάσει την τότε με κανόνα και διαβήτη κατασκευάζουμε την παραπληρωματική της και άρα την διαφορά τους . Όμως η τελευταία είναι η τριχοτόμος της αρχικής, .
Όμοιες σκέψεις μπορεί να κάνει κανείς με στόχο της γωνίες και αλλά όχι για την καλή γωνία .
Αν τώρα κάποιος σχεδιάσει την τότε με κανόνα και διαβήτη κατασκευάζουμε την παραπληρωματική της και άρα την διαφορά τους . Όμως η τελευταία είναι η τριχοτόμος της αρχικής, .
Όμοιες σκέψεις μπορεί να κάνει κανείς με στόχο της γωνίες και αλλά όχι για την καλή γωνία .
Re: Τριχοτομήσιμη αλλά μη κατασκευάσιμη γωνία
Μιχάλη , η απάντησή μου είναι λάθος , διότι η γωνία των , είναι κατασκευάσιμη ( πολλαπλάσιο των ) .Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τρί Ιουν 21, 2022 8:56 amΘανάση, σωστά, αλλά νομίζω ότι δεν απαντάς στο ερώτημα. Στο σχήμα σου αυτή που σου δίνουν είναι η αλλά τριχοτομείς την . H ερώτηση ζητά να τριχοτομήσεις αυτήν που σου δίνουν. Μάλλον διορθώνεται, αλλά δεν το βλέπω (ακόμα δεν ήπια καφέ).
Ωστόσο , με την αλλαγή : , ( οπότε : ) , τριχοτομούμε την , η οποία
δεν είναι κατασκευάσιμη . Αλλά αφού θέλω να την "ζωγραφίσω" , το πετυχαίνω με το τέχνασμα που χρησιμοποίησα
Re: Τριχοτομήσιμη αλλά μη κατασκευάσιμη γωνία
Αφού μιλάμε για τριχοτόμηση , δεν θα μπορούσε να λείψει ο Απόστολος Μπαρτζόπουλος .
Προτείνει λοιπόν τον "προκατασκευασμένο" ρόμβο και πετυχαίνει (πώς ; ) την τριχοτόμηση των .
Προτείνει λοιπόν τον "προκατασκευασμένο" ρόμβο και πετυχαίνει (πώς ; ) την τριχοτόμηση των .
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Τριχοτομήσιμη αλλά μη κατασκευάσιμη γωνία
Γειά σας. Χάριν ποικιλίας:
Μια γωνία είναι κατασκευάσιμη αν και μόνο αν το ημίτονο της είναι κατασκευάσιμος αριθμός.
Ως γνωστόν ο δεν είναι κατασκευάσιμος και επομένως το αυτό ισχύει για τον ο οποίος είναι μεταξυ και άρα είναι ημίτονο μια μη κατασκευάσιμης γωνίας .
Αν όμως η δοθεί τότε ο κατασκευάζεται από αυτήν. Επομένως κατασκευάζεται ο o οποίος αντιστοιχεί στο ημίτονο της λόγω της σχέσης (η στο διάστημα είναι γνησίως αύξουσα και ).
Άρα η , αν και μη κατασκευάσιμη, κατασκευάζεται από την .
Μια γωνία είναι κατασκευάσιμη αν και μόνο αν το ημίτονο της είναι κατασκευάσιμος αριθμός.
Ως γνωστόν ο δεν είναι κατασκευάσιμος και επομένως το αυτό ισχύει για τον ο οποίος είναι μεταξυ και άρα είναι ημίτονο μια μη κατασκευάσιμης γωνίας .
Αν όμως η δοθεί τότε ο κατασκευάζεται από αυτήν. Επομένως κατασκευάζεται ο o οποίος αντιστοιχεί στο ημίτονο της λόγω της σχέσης (η στο διάστημα είναι γνησίως αύξουσα και ).
Άρα η , αν και μη κατασκευάσιμη, κατασκευάζεται από την .
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες