Πρόσφατα ο Ανδρέας Χατζηπολάκης εντόπισε στα Πρακτικά της Ακαδημίας, την ευρύτερα άγνωστη εργασία Περί ενός θεωρήματος της Γεωμετρίας των Morley – Lebesgue (Sur un theoreme de la geometrie de Morley – Lebesgue) του αείμνηστου καθηγητού στο ΑΠΘ Θ. Βαρόπουλου . Ίσως είναι η πρωταρχική εργασία της πλούσιας Ελληνικής συνεισφοράς στο θεώρημα Morley και αναμφίβολα κόσμημα της.
Η ανακοίνωση των περίπου 3 σελίδων, αρχικά διατυπώνει την πρόταση «αι εσωτερικοί τριχοτόμοι των γωνιών Α,Β,C, (πλησιέστερες προς τις πλευρές) τριγώνου τυχόντος ΑΒC, τεμνόμενες καθορίζουν ισόπλευρον τρίγωνο». Στη συνέχεια θέτει ως στόχο «τη γεωμετρική απόδειξη της ανωτέρω προτάσεως που έπεται από τα εξής γνωστά». Αυτά είναι 5 ισχυρισμοί που το ευρύτερο μαθηματικό κοινό μάλλον αγνοεί. Περιλαμβάνουν όρους όπως ευθύγραμμα τμήματα «εν εξέλιξιν» που ενώνουν τυχόν σημείο με τις κορυφές ενός πλήρους τετράπλευρου, συμμετρικό ευθυγράμμου τμήματος ως προς τρίγωνο, αντίστροφα σημεία ως προς τρίγωνο, ομόλογα τρίγωνα, ειδικά διαγράμματα. Στο τέλος παρατηρείται ότι με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται το γενικό θεώρημα κατά το οποίο «οι τριχοτόμοι πλησιέστερες (προς μια πλευρά) του τριγώνου διαχωρίζονται 6 ανά 6 επί 9 ευθειών που είναι κορυφές 27 ισοπλεύρων τριγώνων».
Το κείμενο δεν αποτελεί εύκολο ανάγνωσμα. Απευθύνεται σε εξιδεικευμένο κοινό που μετά από εξηγήσεις και διευκρινήσεις εν τέλει θα πειστεί για την ορθότητα και πληρότητα της απόδειξης. Πέραν της μαθηματικής της αξίας η εργασία έχει ιστορικό ενδιαφέρον γιατί διαφωτίζει το λόγο που μετά από αυτήν γράφτηκαν στο ίδιο θέμα πληθώρα άλλες. Μεταξύ αυτών διακρίνονται για το γενικό θεώρημα η εργασία του Alain Connes με χρήση αυτομορφισμών Ομάδων (που δημιουργούνται από περιστροφές) και η μέθοδος εξωστρέφεια – extraversion του John Conway.
Η λακωνικότητα και απλότητα διατύπωσης του θεωρήματος Morley ικετεύει για μια σύντομη και στοιχειώδη τεκμηρίωση. Οι μαθηματικές αποδείξεις διακρίνονται για την ακρίβεια, σαφήνεια και διαύγεια στη ροή των ισχυρισμών που καταλήγουν στο αποδεικτέο. Επιπλέον κάθε θεώρημα έχει ιεραρχία. Για παράδειγμα η συνέχεια προηγείται της παραγώγου ή το θεώρημα των διαμέσων προηγείται του θεωρήματος Ceva. Η ιεραρχία των θεωρημάτων αποφεύγει περιττές επαναλήψεις, συμπυκνώνει τις αποδείξεις και διευκολύνει την κατανόηση τους.
Αναλύοντας τους όρους της διατύπωσης και διευκρινίζοντας ότι η τριχοτόμος πλησιέστερη προς πλευρά του τριγώνου είναι η τριχοτόμος που διχοτομεί τη γωνία μεταξύ της πλευράς και της άλλης τριχοτόμου, αναδεικνύεται ότι το θεώρημα Morley παρόλο που αναφέρεται σε τριχοτόμους βασίζεται εν τέλει σε ιδιότητες των διχοτόμων. Το δε γενικό θεώρημα προκύπτει από παραλλαγές του θεωρήματος των εσωτερικών τριχοτόμων για κατάλληλους συνδυασμούς ειδών τριχοτόμων.
Παρακάτω παρουσιάζεται μια πρόσφατη απόδειξη για το ειδικό θεώρημα που αξιοποιεί την παραπάνω θεμελιώδη παρατήρηση . Οι περιπτώσεις του γενικού θεωρήματος εμπεριέχονται σε αυτό το αρχείο.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ MORLEY
Για την επαλήθευση του θεωρήματος δίδεται τρίγωνο XYZ με μεγέθη γωνιών 3, 3 και 3, όπου . Θεωρούμε ότι οι τριχοτόμοι του XYZ, πλησιέστερες στις πλευρές αντίστοιχα, τέμνονται στις κορυφές του X'Y'Z', οπότε πρέπει να τεκμηριωθεί ότι το X'Y'Z' είναι ισόπλευρο. Αυτό επιτυγχάνεται αν δειχθεί σε ένα άλλο ABC το με ίσες τις αντίστοιχες γωνίες, δηλαδή τα XYZ και ABC είναι όμοια, ότι το αντίστοιχο A'B'C' είναι ισόπλευρο. Η μέθοδος αυτή ονομάζεται πλάγια ή αντίστροφη και έχει χρησιμοποιηθεί και σε άλλες αποδείξεις του θεωρήματος.
Στη συνέχεια κατασκευάζεται το ABC. Στο εξωτερικό ενός ισοπλεύρου A'B'C' φτιάχνουμε ισοσκελή B'A"C', C'B"A' και A'C"B' με γωνίες κορυφών , και αντίστοιχα. Έτσι οι κορυφές του ABC προκύπτουν από τις τομές αντίστοιχων πλευρών ισοσκελών τριγώνων.
Σύμφωνα με την παραπάνω περιγραφή της κατασκευής CA"B, AB"C και BC"A ταυτίζονται με τις αντίστοιχες γωνίες των κορυφών των ισοσκελών C'A"B', A'B"C' and B'C"A', στα οποίες γωνίες οι A"A', B"B' και C"C' είναι διχοτόμοι αφού το A'B'C' είναι ισόπλευρο.
Οι ίσες γωνίες των ισοσκελών έχουν μέγεθος , και αντίστοιχα. Έτσι
A'B'C A'C'B , B'C'A B'A'C και C'A'B C'B'A .
Άρα οι γωνίες μεταξύ των πλευρών των ισοσκελών που τεμνόμενες προσδιορίζουν τις κορυφές Α, Β και C,δηλαδή B'AC', C'BA' και A'CB', έχουν μεγέθη , και αντίστοιχα.
Όμως, όπως υποδεικνύει το παραπάνω σχήμα,
CA'B CA"B.
Αλλά όπως αποκαλύπτει το επόμενο σχήμα, το Α' είναι το έκκεντρο του CA"B ως το μοναδικό σημείο της A"A', διχοτόμου της CA"B, από το οποία η πλευρά BC φαίνεται με γωνία αυτού του μεγέθους.
Κυκλικά, τα B' και C' είναι έκκεντρα των AB"C και BC"A αντίστοιχα.
Καθώς τα B' και C' είναι έκκεντρα των AB"C και BC"A, η AC' διχοτομεί τη BAB' και η AB' διχοτομεί τη CAC'. Συνεπώς αυτές είναι τριχοτόμοι της CAB πλησιέστερες στις AB και AC αντίστοιχα. Επειδή C'AB'= , CAB .
Κυκλικά οι BA' και BC' είναι τριχοτόμοι της ABC, πλησιέστερες στις AC και AB, ενώ CB' και CA' είναι τριχοτόμοι της BCA, πλησιέστερες στις CA και CB αντίστοιχα. Έτσι ABC και BCA .
Επίσης οι κορυφές του A'B'C' είναι τα σημεία τομής των τριχοτόμων του ABC πλησιέστερων στις πλευρές.
- Αρχική σελίδα Αρχική Σελίδα Ευρετήριο Δ. Συζήτησης Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ Γενικά
- Αναζήτηση
-
- Τώρα είναι Πέμ Απρ 18, 2024 9:19 am
- Όλοι οι χρόνοι είναι UTC+03:00
ΠΕΡΙ ΕΝΟΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΩΝ MORLEY-LEBESQUE του Θ. ΒΑΡΟΠΟΥΛΟΥ, ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΑΚΑΔΗΜΙΑΣ ΑΘΗΝΩΝ
Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών
Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης
ΠΕΡΙ ΕΝΟΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΩΝ MORLEY-LEBESQUE του Θ. ΒΑΡΟΠΟΥΛΟΥ, ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΑΚΑΔΗΜΙΑΣ ΑΘΗΝΩΝ
Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από SKuruklis » Δευ Οκτ 31, 2022 2:33 pm
Σπύρος Κουρούκλης
Λέξεις Κλειδιά:
Μετάβαση σε
- Γενικά Μηνύματα
- ΟΜΑΔΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕΛΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA.GR
- ΓΥΜΝΑΣΙΟ
- ↳ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- ↳ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- ↳ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- ΛΥΚΕΙΟ
- ↳ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ
- ↳ ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
- ↳ Τράπεζα Θεμάτων, Άλγεβρα A
- ↳ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
- ↳ Τράπεζα Θεμάτων, Γεωμετρία A
- ↳ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ
- ↳ ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
- ↳ Τράπεζα Θεμάτων, Άλγεβρα Β
- ↳ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- ↳ Τράπεζα Θεμάτων, Γεωμετρία Β
- ↳ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
- ↳ Τράπεζα Θεμάτων, Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού Β
- ↳ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ
- ↳ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ'
- ↳ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
- ↳ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ
- ↳ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
- ↳ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- ↳ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- ↳ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
- ↳ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
- ΕΠΑ.Λ.
- ΔΗΜΟΤΙΚΟ
- Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
- ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
- ↳ Πανελλήνιες Εξετάσεις
- ↳ Εξετάσεις Σχολών
- ↳ Εξετάσεις Προτύπων και Πειραματικών Σχολείων
- ↳ Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
- ↳ Εξετάσεις Δεσμών
- ↳ Α' Δέσμη
- ↳ Δ' Δέσμη
- Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ
- ↳ Άλγεβρα
- ↳ Ανάλυση
- ↳ Γεωμετρία
- ↳ Στατιστική-Πιθανότητες
- ↳ Γενικά
- ↳ Μαθηματική απόδειξη & Λογική
- ↳ Σχολικά Βιβλία, Οδηγίες κ.α.
- ↳ Σχολικά Βιβλία του ΟΕΔΒ και Βιβλία Καθηγητή
- ↳ Βιβλία του Κέντρου Εκπαιδευτικής 'Ερευνας
- ↳ Οδηγίες Διδασκαλίας του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου κ.α.
- ↳ Οδηγίες Διδασκαλίας από Σχολικούς Συμβούλους κ.α.
- ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Α.Σ.Ε.Π.
- ↳ Γενική Συζήτηση - Σχόλια
- ↳ Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
- Α.Ε.Ι.
- ↳ ΑΝΑΛΥΣΗ
- ↳ ΑΛΓΕΒΡΑ
- ↳ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
- ↳ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
- ↳ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
- ↳ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ
- ↳ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
- ↳ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
- ↳ Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών
- ↳ Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ
- ↳ Βασικά Θεωρήματα, Τεχνικές και Προτάσεις
- ↳ Άλγεβρα
- ↳ Γεωμετρία
- ↳ Θεωρία Αριθμών
- ↳ Συνδυαστική
- ↳ Θέματα για Γυμνάσιο - Juniors
- ↳ Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- ↳ Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- ↳ Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- ↳ Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- ↳ Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- ↳ Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- ↳ Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- ↳ Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- ↳ Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- ↳ Θέματα για Λύκειο - Seniors
- ↳ Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- ↳ Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- ↳ Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- ↳ Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- ↳ Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- ↳ Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- ↳ Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- ↳ Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- ↳ Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- ↳ Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- ↳ Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- ↳ Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- ↳ Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- ↳ Διαγωνισμοί για φοιτητές
- ↳ Βασικά Θεωρήματα, Τεχνικές και Προτάσεις (Φοιτητές)
- ↳ Άλγεβρα (Φοιτητές)
- ↳ Ανάλυση (Φοιτητές)
- ↳ Γεωμετρία (Φοιτητές)
- ↳ Θεωρία Αριθμών (Φοιτητές)
- ↳ Συνδυαστική-Πιθανότητες (Φοιτητές)
- ↳ Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
- Ιστορία των Μαθηματικών
- Διδακτική των Μαθηματικών
- ↳ Διαδραστικοί & σχέδια μαθημάτων με λογισμικό
- ↳ Ερευνητικές εργασίες (project)
- Μαθηματικά Κείμενα-Μελέτες
- Εκπαιδευτικά Θέματα
- Παιδαγωγικά Θέματα
- Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Άρθρα αρχικής σελίδας
- Ευρετήρια θεμάτων mathematica.gr
- ΟΔΗΓΙΕΣ LaTeX - ΛΟΓΙΣΜΙΚΑ - ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΕΣ - EBOOKS - ΝΕΕΣ ΠΡΟΣΘΗΚΕΣ
- ↳ Οδηγίες για γραφή με TeX
- ↳ Πακέτα και γραφή σε TeX-κειμενογράφο
- ↳ Δοκιμές γραφής με TeX
- ↳ Χρήσιμες Μαθηματικές Ιστοσελίδες
- ↳ Χρήσιμες Ιστοσελίδες (μη μαθηματικού περιεχομένου)
- ↳ Ελεύθερα ηλεκτρονικά Βιβλία (free e-books)
- ↳ Μαθηματικό Λογισμικό
- ↳ Μαθηματικά & Τεχνολογία
- ↳ Νέες Προσθήκες
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες