Η δυσκολία της απαλοιφής

KARKAR · #1

: Η δυσκολία της απαλοιφής.png (7.67 KiB) Προβλήθηκε 529 φορές

Σημείο

κινείται στην προέκταση της ακτίνας

του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AA'}$ . Το τμήμα SA'

τέμνει το τόξο στο σημείο

. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου

, του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 26, 2023 8:11 pm
Η δυσκολία της απαλοιφής.pngΣημείο κινείται στην προέκταση της ακτίνας του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AA'}$ . Το τμήμα

τέμνει το τόξο στο σημείο . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου , του τμήματος .

Για ευκολία θέτω a=1.

Με

εύκολα βρίσκω $\displaystyle T\left( {\frac{{2s}}{{{s^2} + 1}},\frac{{{s^2} - 1}}{{{s^2} + 1}}} \right)$ και $\displaystyle M\left( {\frac{{s({s^2} + 3)}}{{2({s^2} + 1)}},\frac{{{s^2} - 1}}{{2({s^2} + 1)}}} \right)$

: Δύσκολη απαλοιφή.png (12.07 KiB) Προβλήθηκε 449 φορές

Αν

έχω $\displaystyle {s^2} = \frac{{2y + 1}}{{1 - 2y}}$ και $\boxed{x = (1 - y)\sqrt {\frac{{2y + 1}}{{1 - 2y}}} ,x > 1,0 < y < \frac{1}{2}}$ που είναι η εξίσωση του γεωμετρικού τόπου (η κόκκινη καμπύλη).

#3

Καλησπέρα σε όλους. Διαφορετικά από τον Γιώργο, αλλά καταλήγοντας στην ίδια καμπύλη (βεβαίως).

: 27-06-2023 Γεωμετρία.png (28.56 KiB) Προβλήθηκε 409 φορές

Έστω

, οπότε $\displaystyle A'\left( {0,1} \right),\;T\left( {\sigma \upsilon \nu \varphi ,\eta \mu \varphi } \right)$ , άρα $\displaystyle A'T:y = \frac{{\eta \mu \varphi - 1}}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }}x + 1,\;0 < \varphi < \frac{\pi }{2}$

και $\displaystyle S\left( {\frac{{\sigma \upsilon \nu \varphi }}{{1 - \eta \mu \varphi }},0} \right)$ , $\displaystyle M\left( {\frac{{\sigma \upsilon \nu \varphi \left( {2 - \eta \mu \varphi } \right)}}{{2\left( {1 - \eta \mu \varphi } \right)}},\;\frac{{\eta \mu \varphi }}{2}} \right)$

Έστω $\displaystyle x = \frac{{\sigma \upsilon \nu \varphi \left( {2 - \eta \mu \varphi } \right)}}{{2\left( {1 - \eta \mu \varphi } \right)}},\;\;y = \frac{{\eta \mu \varphi }}{2}$

Τότε $\displaystyle \eta \mu \varphi = 2y,\;\;\sigma \upsilon \nu \varphi = \sqrt {1 - 4{y^2}}$ οπότε έχουμε την εξίσωση

$\displaystyle x = \frac{{\sqrt {1 - 4{y^2}} \left( {1 - y} \right)}}{{\left( {1 - 2y} \right)}} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{\left( {1 - 4{y^2}} \right){{\left( {1 - y} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - 2y} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{\left( {1 + 2y} \right){{\left( {1 - y} \right)}^2}}}{{\left( {1 - 2y} \right)}}$

$\displaystyle \Leftrightarrow 2{y^3} - 3{y^2} + 2{x^2}y + 1 - {x^2} = 0$ , με $\displaystyle x > 1,\;\;0 < y < \frac{1}{2}$ .

Η δυσκολία της απαλοιφής

Η δυσκολία της απαλοιφής

Re: Η δυσκολία της απαλοιφής

Re: Η δυσκολία της απαλοιφής

Μέλη σε σύνδεση