Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης
της προέκτασης της διαμέτρου 
ενός ημικυκλίου , φέρουμε την εφαπτομένη 
, το οποίο τέμνει το τόξο στο σημείο 
. Αν 
είναι
, υπολογίστε το 
, για το οποίο ελαχιστοποιείται το τμήμα 
.KARKAR έγραψε: ↑Τετ Ιουν 26, 2024 10:22 amΣκουλαρίκι στην μύτη.pngΑπό σημείο
προς την οποία φέρουμε τo κάθετo τμήμα
το μέσο του τμήματος
Παρακαλώ , μην γκρινιάζετε για την επιλογή του τίτλου του θέματος ! ( θα υπάρξει αιτιολόγηση ) .
. Εύκολα:
(ν. ημιτόνων στο τρίγωνο 
)![\displaystyle{
\bullet \
AT = d \cdot \cos\varphi \Leftrightarrow AT = \dfrac{d}{\sqrt{\tan^2\varphi + 1}} \Leftrightarrow \boxed{AT = d \, \sqrt{\dfrac{x + d}{2x + d}}}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b14d0482e4914ad057f6bf56051f77f3.png "\displaystyle{
\bullet \
AT = d \cdot \cos\varphi \Leftrightarrow AT = \dfrac{d}{\sqrt{\tan^2\varphi + 1}} \Leftrightarrow \boxed{AT = d \, \sqrt{\dfrac{x + d}{2x + d}}}
}")
![\displaystyle{
\bullet \
QA = AT \cdot \cos\varphi \Leftrightarrow QA = \dfrac{AT}{\sqrt{\tan^2\varphi + 1}} \Leftrightarrow QA = \dfrac{d(x + d)}{2x + d}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/f05f45b1e1b11ea6a6d7980385699079.png "\displaystyle{
\bullet \
QA = AT \cdot \cos\varphi \Leftrightarrow QA = \dfrac{AT}{\sqrt{\tan^2\varphi + 1}} \Leftrightarrow QA = \dfrac{d(x + d)}{2x + d}
}")
![\displaystyle{
\bullet \
QT^2 = QP \cdot QA \Leftrightarrow AP = \dfrac{QA^2 - QT^2}{QA} \Leftrightarrow AP = \dfrac{2QA^2 - AT^2}{QA}
\Leftrightarrow \boxed{AP = \dfrac{d^2}{2x + d}}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/4f2c932fb60bab20df0b3220536edab8.png "\displaystyle{
\bullet \
QT^2 = QP \cdot QA \Leftrightarrow AP = \dfrac{QA^2 - QT^2}{QA} \Leftrightarrow AP = \dfrac{2QA^2 - AT^2}{QA}
\Leftrightarrow \boxed{AP = \dfrac{d^2}{2x + d}}
}")
παίρνω:![\displaystyle{
\begin{aligned}
PM^2
&= AP^2 + \dfrac{AT^2}{4} - AP \cdot AT \cdot \cos\varphi \\[0.1in]
&= \dfrac{d^4}{(2x + d)^2} + \dfrac{d^2(x + d)}{4(2x + d)} - \dfrac{d^3}{2x + d} \cdot \sqrt{\dfrac{x + d}{2x + d}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{\tan^2 x + 1}} \\[0.1in]
&= \dfrac{d^4}{(2x + d)^2} + \dfrac{d^2(x + d)}{4(2x + d)} - \dfrac{d^3 (x + d)}{(2x + d)^2} \\[0.1in]
&= \dfrac{4d^4 + d^2(x + d)(2x + d) - 4d^3 (x + d)}{4(2x + d)^2} \\[0.1in]
&= \dfrac{d^2 \bigl( 2x^2 - dx + d^2 \bigr)}{4(2x + d)^2}
\end{aligned}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/641ec2e8802bd5a19bf8f1bce08e6087.png "\displaystyle{
\begin{aligned}
PM^2
&= AP^2 + \dfrac{AT^2}{4} - AP \cdot AT \cdot \cos\varphi \\[0.1in]
&= \dfrac{d^4}{(2x + d)^2} + \dfrac{d^2(x + d)}{4(2x + d)} - \dfrac{d^3}{2x + d} \cdot \sqrt{\dfrac{x + d}{2x + d}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{\tan^2 x + 1}} \\[0.1in]
&= \dfrac{d^4}{(2x + d)^2} + \dfrac{d^2(x + d)}{4(2x + d)} - \dfrac{d^3 (x + d)}{(2x + d)^2} \\[0.1in]
&= \dfrac{4d^4 + d^2(x + d)(2x + d) - 4d^3 (x + d)}{4(2x + d)^2} \\[0.1in]
&= \dfrac{d^2 \bigl( 2x^2 - dx + d^2 \bigr)}{4(2x + d)^2}
\end{aligned}
}")
γίνεται ελάχιστο όταν το 
γίνει ελάχιστο. Για 
, βρίσκω 
.
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης
