Άγνωστος τόπος

KARKAR · #1

: Ανήσυχος τόπος.png (17.99 KiB) Προβλήθηκε 1717 φορές

Το σημείο

κινείται στο ημικύκλιο του σχήματος . Η εφαπτομένη στο

και η παράλληλη από

το

προς την

, τέμνονται στο σημείο

, του οποίου αναζητούμε τον γεωμετρικό τόπο .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 05, 2025 7:25 am
Ανήσυχος τόπος.pngΤο σημείο κινείται στο ημικύκλιο του σχήματος . Η εφαπτομένη στο και η παράλληλη από

το προς την , τέμνονται στο σημείο , του οποίου αναζητούμε τον γεωμετρικό τόπο .

: Άγνωστος τόπος.K.png..png (16.02 KiB) Προβλήθηκε 1709 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 05, 2025 7:25 am
Ανήσυχος τόπος.pngΤο σημείο κινείται στο ημικύκλιο του σχήματος . Η εφαπτομένη στο και η παράλληλη από

το προς την , τέμνονται στο σημείο , του οποίου αναζητούμε τον γεωμετρικό τόπο .

Το ημικύκλιο έχει εξίσωση : ${x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\,\,$ με $x > 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y < 0$ άρα για κάθε $S\left( {a,b} \right)$ θα ισχύει :

${a^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 4b = 0\,\,\left( 1 \right)$ . $\overrightarrow {AS} = \left( {a,b + 4} \right)$ με κλίση $\boxed{\lambda = \frac{{b + 4}}{a}}$ .

: Αγνωστος τόπος.png (18.72 KiB) Προβλήθηκε 1701 φορές

Οι εξισώσεις των $OT\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ST$ είναι : $\left\{ \begin{gathered} \left( {b + 4} \right)x - ay = 0 \hfill \\ ax + \left( {b + 2} \right)\left( {y + 2} \right) = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ που για τις παραμέτρους $a\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b$ δίδει :

$a = \dfrac{{2x\left( {y + 4} \right)}}{{{x^2} + y\left( {y + 2} \right)}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,b = - \dfrac{{2\left( {2{x^2} + {y^2}} \right)}}{{{x^2} + y\left( {y + 2} \right)}}$ και λόγω της (1)

προκύπτει: $y\left( {y + 4} \right)\left( {{x^2}\left( {y - 4} \right) + {y^3}} \right) = 0$ .

Συνεπώς η καμπύλη δίδεται από την εξίσωση : $\boxed{{x^2}\left( {y - 4} \right) + {y^3} = 0}$ με x,y > 0

KARKAR · #4

: Ως συνάρτηση.png (15.69 KiB) Προβλήθηκε 1692 φορές

Ας την κάνουμε συνάρτηση . Για ποια θέση του

η τεταγμένη του

, είναι τετραπλάσια εκείνης του

;

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 05, 2025 7:25 am
Ανήσυχος τόπος.pngΤο σημείο κινείται στο ημικύκλιο του σχήματος . Η εφαπτομένη στο και η παράλληλη από

το προς την , τέμνονται στο σημείο , του οποίου αναζητούμε τον γεωμετρικό τόπο .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος, a^2+b^2=4b

και από την ομοιότητα των τριγώνων OPS, OTQ

είναι $\displaystyle \frac{{{a^2}}}{{{y^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} = \frac{{4b}}{{{x^2} + {y^2}}} \Leftrightarrow b = \frac{{4{x^2}}}{{{x^2} + {y^2}}},a = \frac{{4xy}}{{{x^2} + {y^2}}}$

: Άγνωστος τόπος.Kb.png..png (16.99 KiB) Προβλήθηκε 1691 φορές

Αλλά από το όμοια τρίγωνα OST, POS

έχω $\displaystyle \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = \frac{{4{b^3}}}{{{a^2}}} = 4b \cdot \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{16{x^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} \cdot \frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle ({x^2} + {y^2})y = 4{x^2},$ απ' όπου $\boxed{{x^2} = \frac{{{y^3}}}{{4 - y}} , x\ge 0, 0\le y<4}$

Άγνωστος τόπος

Άγνωστος τόπος

Re: Άγνωστος τόπος

Re: Άγνωστος τόπος

Re: Άγνωστος τόπος

Re: Άγνωστος τόπος

Μέλη σε σύνδεση