Φράγμα λόγου και ουτοπία

KARKAR · #1

: Φράγμα λόγου και ουτοπία.png (25.12 KiB) Προβλήθηκε 1775 φορές

Ονομάζουμε

την προβολή σταθερού σημείου

της ευθείας y=x

και του τρίτου τεταρτημορίου , στον y'y

.

Ονομάζουμε

την προβολή μεταβλητού σημείου

της ευθείας y=-x

και του

ου τεταρτημορίου , στον x'x

.

α) Βρείτε τις επιτρεπτές τιμές του λόγου : $\dfrac{SS'}{TT'}=\dfrac{s}{t}$ , για τις οποίες οι ημιευθείες ST' , S'T

τέμνονται .

β) Αν ονομάσουμε

το σημείο τομής , μπορούμε να μιλήσουμε για τον γεωμετρικό τόπο του

;

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Μάιος 05, 2025 12:35 pm Φράγμα λόγου και ουτοπία.pngΟνομάζουμε την προβολή σταθερού σημείου της ευθείας και του τρίτου τεταρτημορίου , στον .

Ονομάζουμε την προβολή μεταβλητού σημείου της ευθείας και του ου τεταρτημορίου , στον .

α) Βρείτε τις επιτρεπτές τιμές του λόγου : $\dfrac{SS'}{TT'}=\dfrac{s}{t}$ , για τις οποίες οι ημιευθείες τέμνονται .

β) Αν ονομάσουμε το σημείο τομής , μπορούμε να μιλήσουμε για τον γεωμετρικό τόπο του ;

Για

οι συντεταγμένες των σημείων του σχήματος είναι $S(-s,-s), \, S'(0,-s), \, T(t,-t), T'(t,0)$ .

Οι ευθείες ST' , S'T

τέμνονται όταν δεν είναι παράλληλες. Και είναι παράλληλες (ως ευθείες) όταν οι κλίσεις τους είναι ίσες, δηλαδή

$\dfrac {0+s}{t+s}=\dfrac {-t+s}{t-0}$ . Ισοδύναμα s^2-st-t^2=0

και άρα έχουμε $s^2-st-t^2\ne 0$ όταν δεν είναι παράλληλες (τέμνονται).

Τώρα οι εξισώσεις των ευθειών είναι

$y= \dfrac {0+s}{t+s} (x-t)$ και $y+s= \dfrac {s-t}{t} x , \, (*)$

Όταν τέμνονται οι ημιευθείες (που εκτείνονται προς τα δεξιά), το κοινό τους σημείο είναι στο πρώτο τεταρτημόριο, άρα x,y>0

. Λύνοτας το σύτστημα θα βρούμε

$x= \dfrac {s^2t}{s^2-st-t^2}$ και $y= \dfrac {s t^ 2}{s^2-st-t^2}, \, (**)$ .

Από την x>0

και

έπεται

, ισοδύναμα $\left ( \dfrac {s}{t} \right )^2 -\left ( \dfrac {s}{t} \right )-1>0$ ή αλλιώς

$\left ( \dfrac {s}{t}-\phi \right )\left ( \dfrac {s}{t}+\dfrac {1}{\phi} \right ) >0$ . Έπεται $\boxed {\dfrac {s}{t}> \phi}$ (αναγακαία συνθήκη αλλά θα δούμε ότι είναι και ικανή).

Για το ικανό (και συγχρόνως απαντά το β' ερώτημα) έχουμε από τις (**)

ότι $\dfrac {x}{y}= \dfrac {s}{t} > \phi$ , οπότε για κάθε σημείο P(x,y)

με $x,y>0, \dfrac {x}{y} > \phi$

θέτουμε $s= \dfrac {x^2-xy-y^2}{y},\, y= \dfrac {x^2-xy-y^2}{x}$ . Εύκολα βλέπουμε ότι s>o. t>0

και ότι ικανοποιούνται οι (*)

(το βλέπουμε είτε με απευθείας αντικατάσταση είτε παρατηρώντας πρώτα ότι έχουμε $\dfrac {x}{y}= \dfrac {s}{t}$ ) .

Επίσης ισχύει $\dfrac {s}{t} = \dfrac {x}{y} > \phi$ , που δείχνει το ικανό.

Τελικό συμπέρασμε για το β). O τόπος του

είναι ολόκληρη περιοχή, συγκεκριμένα μέσα στην γωνία που σχηματίζουν ο θετικός άξονας των

και η (ημι)ευθεία $x> \phi y$ .

Φράγμα λόγου και ουτοπία

Φράγμα λόγου και ουτοπία

Re: Φράγμα λόγου και ουτοπία

Μέλη σε σύνδεση