Ανόμοια αλλά ίσα

[Doloros]

.

Ανόμοια αλλά ίσα.png (34.09 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές

.
Στο σχήμα πόσο μέρους του κύκλου καλύπτει η έγχρωμη επιφάνεια ; ( πράσινη )

Υπάρχει σε πολλά βιβλία . Πρώτη φορά το , πρώτο τεύχος του περιοδικού .

[p_gianno]

Στιγμιότυπο οθόνης 2026-08-05 210125.png (79.34 KiB) Προβλήθηκε 171 φορές

Θα αποδείξουμε πρώτα ότι
Φέρουμε και . Είναι τότε και επειδή και όπως προκύπτει από τις εντός εναλλάξ γωνίες που είναι ίσες. Επίσης είναι αντιστοίχως διχοτόμοι των ορθών γωνιών και
Έστω το σημείο τομής των Τότε το είναι συμμετρικό του ως προς την και του ως προς την . Συνεπώς και .
Το άθροισμα των διαδοχικών γωνιών με κοινή κορυφή το είναι και επειδή εύκολα έχουμε εύκολα βλέπουμε ότι . Συνεπώς
Επομένως με πυθαγόρειο στο τρίγωνο έχουμε ή
Στην άσκηση τώρα
Τα τρίγωνα είναι όμοια. Συνεπώς
δηλαδή
'Επεται τώρα οτι το εμβαδόν της λευκής (άρα και της πράσινης) περιοχής είναι ίσο με το εμβαδόν του ημικυκλίου

[add2math]

Ανόμοια αλλά ίσα.png (43.88 KiB) Προβλήθηκε 119 φορές

Είναι
Όμοια , αφού .
Οπότε , δηλαδή είναι ίσο με το εμβαδόν του ημικυκλίου.

[Mihalis_Lambrou]

.
Ανόμοια αλλά ίσα.png
.
Στο σχήμα πόσο μέρους του κύκλου καλύπτει η έγχρωμη επιφάνεια ; ( πράσινη )

Υπάρχει σε πολλά βιβλία . Πρώτη φορά το , πρώτο τεύχος του περιοδικού .

Ανόμια.png (60.94 KiB) Προβλήθηκε 93 φορές

.
Χωρίς πολλά λόγια αφού η εικόνα τα λέει όλα. H ιδέα είναι να χωρίσουμε τα δύο ανόμια σχήματα σε περιοχές που ανά δύο είναι ίσες μεταξύ τους.

Φέρνουμε τις και έστω το σημείο τομής τους. Οι πράσινες γωνίες είναι ίσες, οπότε στα ορθογώνια τρίγωνα οι είναι μεσοκάθετοι. Επίσης είναι , οότε ο κύκλος είναι ίσος με τον αρχικό αφού οη κοινή τος χορδή φαίνεται υπό παραπληρωματικές γωνίες από τα και .

Συμπεραίνουμε ότι έχουμε τις ισότητες περιοχών. Επίσης έχουμε την τετραπλή ισότητα κυκλικών τόξων. Από αυτούς ο χωρίζεται σε ένα τρίγωνο και δύο μικρά κυκλικά τόξα . Αλλά έχουμε τις ισότητες κυκλικών τόξων (διότι έχουν ίσες χορδές), και (διότι έχουν ίσες χορδές).

Μπορούμε τώρα εύκολα να διαπιστώσουμε το ισχυρισμό που αναφέραμε, ότι δηλαδή τα δύο ανόμια σχήματα χωρίζονται σε περιοχές που ανά δύο είναι ίσες μεταξύ τους. Τελειώσαμε.

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

.
Ανόμοια αλλά ίσα.png
.
Στο σχήμα πόσο μέρους του κύκλου καλύπτει η έγχρωμη επιφάνεια ; ( πράσινη )

Υπάρχει σε πολλά βιβλία . Πρώτη φορά το , πρώτο τεύχος του περιοδικού .

Τη βλέπω πρώτη φορά

Λόγω των σημειωμένων γωνιών είναι προφανές ότι είναι διάμετρος

Ισχύει, και

Άρα και

Τώρα είναι φανερό,ότι η πράσινη επιφάνεια ισούται με το μισό του κυκλικού δίσκου.

Ανόμοια αλλά ίσα.png (41.85 KiB) Προβλήθηκε 68 φορές