Τμήμα και λόγος

KARKAR · #1

: Τμήμα και λόγος.png (22.17 KiB) Προβλήθηκε 975 φορές

Το

είναι το μέσο της πλευράς

του τετραπλεύρου ABCD

, το οποίο συγκροτήθηκε

όπως φαίνεται στο σχήμα . A) Υπολογίστε το (OM)

... B) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(OMB)}{(OMA)}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: Παρ Δεκ 14, 2018 9:17 pm Τμήμα και λόγος.pngΤο είναι το μέσο της πλευράς του τετραπλεύρου , το οποίο συγκροτήθηκε

όπως φαίνεται στο σχήμα . A) Υπολογίστε το ... B) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(OMB)}{(OMA)}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Δεκ 14, 2018 9:17 pm Τμήμα και λόγος.pngΤο είναι το μέσο της πλευράς του τετραπλεύρου , το οποίο συγκροτήθηκε

όπως φαίνεται στο σχήμα . A) Υπολογίστε το ... B) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(OMB)}{(OMA)}$

α) Προφανώς οι γωνίες $\widehat {AOB}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {DOC}\,\,$ είναι παραπληρωματικές κι αφού Θ. συνημίτονου :

$\cos \widehat {AOC} = \dfrac{{{4^2} + {5^2} - {6^2}}}{{2 \cdot 4 \cdot 5}} = \dfrac{1}{8} \Rightarrow \cos \widehat {DOC} = - \dfrac{1}{8}$ από το ίδιο θεώρημα στο $\vartriangle DOC$ έχω

$C{D^2} = 46$ και από το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο ίδιο τρίγωνο έχω $\displaystyle \boxed{x = OM = 3}$ .

: Τμήμα και λόγος_ok.png (37.26 KiB) Προβλήθηκε 945 φορές

β) Φέρνω

και άρα $\widehat \theta = \widehat {{\theta _1}} + \widehat {{\theta _2}}$ ως παραπληρώματα της $\widehat {DOC}$ .

Επειδή $\dfrac{{OA}}{{OB}} = \dfrac{{KO}}{{KM}} \Leftrightarrow \dfrac{4}{5} = \dfrac{2}{{2,5}}$ τα τρίγωνα $OAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KOM$ είναι όμοια . Αν λοιπόν

Προεκτείνω την

προς το

και τμήσει την

στο

θα είναι :

Η γωνία $\widehat \xi$ συμπληρωματική της $\widehat {{\theta _1}}$ και αφού $\widehat \xi = \widehat {{\xi _1}}$ , λόγω της προηγούμενης

ομοιότητας , θα είναι $\widehat {{\xi _1}} + \widehat \theta_1 = 90^\circ \Rightarrow \boxed{OT \bot AB}$ .

Από το Θ. απέναντι οξείας γωνίας στο τρίγωνο AOB

έχω :

$25 = 36 + 16 - 2 \cdot 6AT \Rightarrow \boxed{AT = \dfrac{9}{4}}$ και άρα $\boxed{TB = \dfrac{{15}}{4}}$ , οπότε : $\boxed{\dfrac{{(OMB)}}{{(OMA)}} = \dfrac{5}{3}}$

Για δεύτερο ερώτημα μπορούμε να εργαστούμε κι ως εξής:

: Τμήμα και λόγος_new.png (33.26 KiB) Προβλήθηκε 939 φορές

Ας είναι

η προβολή του

στη

προφανώς

και άρα

.

Αλλά από το Θ. απέναντι οξείας γωνίας ( $\widehat {MOD} < 90^\circ$ ) έχω : $D{M^2} = O{D^2} + O{M^2} - 2OD \cdot OK$ δηλαδή :

$\displaystyle \dfrac{{46}}{4} = 16 + 9 - 2 \cdot 4 \cdot OK \Rightarrow \boxed{OK = \frac{{27}}{{16}}} \Rightarrow \boxed{(MOA) = \frac{{27}}{8}}$

Με όμοιο τρόπο $\boxed{(MOB) = \frac{{45}}{8}}$ και άρα $\boxed{\frac{{(MOB)}}{{(MOA)}} = \frac{5}{3}}$

KARKAR · #4

: Τμήμα και λόγος.png (23.24 KiB) Προβλήθηκε 930 φορές

Το πρώτο ερώτημα μπορεί να απαντηθεί από το εξής πόρισμα του "συμπλέγματος Vecten

" :

Η προέκταση του ύψους

διέρχεται από το μέσο

της

και είναι : $OM=\dfrac{BC}{2}$

Η διατύπωση από εδώ . Δώστε διαφορετική απόδειξη από αυτή του Νίκου και της παραπομπής ...

#5

Η κλασική απόδειξη.

: Vecten.I.png (12.62 KiB) Προβλήθηκε 917 φορές

Προεκτείνω τη διάμεσο

κατά μήμα

Τα τρίγωνα $\displaystyle CON,OBA$ είναι ίσα γιατί έχουν δύο πλευρές

ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες ίσες ως παραπληρωματικές της $\displaystyle C\widehat OD.$ Άρα, $\displaystyle OM = \frac{{AB}}{2}.$ Από την

ισότητα των τριγώνων είναι $\displaystyle \widehat B = \varphi ,$ αλλά $\displaystyle \varphi + \omega = 90^\circ ,$ οπότε $\displaystyle \widehat B + \omega = 90^\circ$ και $OJ\bot AB.$

#6

KARKAR έγραψε: Σάβ Δεκ 15, 2018 7:56 am Τμήμα και λόγος.pngΤο πρώτο ερώτημα μπορεί να απαντηθεί από το εξής πόρισμα του "συμπλέγματος " :

Η προέκταση του ύψους διέρχεται από το μέσο της και είναι : $OM=\dfrac{BC}{2}$

Η διατύπωση από εδώ . Δώστε διαφορετική απόδειξη από αυτή του Νίκου και της παραπομπής ...

Μια απόδειξη με εσωτερικό γινόμενο υπάρχει στο βιβλίο κατεύθυνσης Β λυκείου , σελίδα 50 υπ αριθ. 9

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε: Σάβ Δεκ 15, 2018 7:56 am Τμήμα και λόγος.pngΤο πρώτο ερώτημα μπορεί να απαντηθεί από το εξής πόρισμα του "συμπλέγματος " :

Η προέκταση του ύψους διέρχεται από το μέσο της και είναι : $OM=\dfrac{BC}{2}$

Η διατύπωση από εδώ . Δώστε διαφορετική απόδειξη από αυτή του Νίκου και της παραπομπής ...

$\displaystyle H,M,I,E$ είναι μέσα των πλευρών του $\displaystyle ABCD$

Από την προφανή ισότητα των τριγώνων $\displaystyle \vartriangle COA,DOB$ είναι $\displaystyle CA = DB$ και οι μπλε γωνίες ίσες

συνεπώς το $\displaystyle COKB$ είναι εγγράψιμο άρα $\displaystyle CA \bot BD$ και $\displaystyle MHEI$ τετράγωνο

Με θ.διαμέσου στα $\displaystyle \vartriangle OME,OHI$ έχουμε

$\displaystyle O{H^2} + O{I^2} = O{M^2} + O{E^2} \Rightarrow \frac{{B{C^2} + A{D^2}}}{4} = O{M^2} + \frac{{2\left( {O{B^2} + O{A^2}} \right) - A{B^2}}}{4}$

$\displaystyle \frac{{B{C^2} + A{D^2}}}{4} = O{M^2} + \frac{{B{C^2} + A{D^2}}}{4} - \frac{{A{B^2}}}{4} \Rightarrow \boxed{OM = \frac{{AB}}{2}}$

: T.K.L.png (36.09 KiB) Προβλήθηκε 891 φορές

Τμήμα και λόγος

Τμήμα και λόγος

Re: Τμήμα και λόγος

Re: Τμήμα και λόγος

Re: Τμήμα και λόγος

Re: Τμήμα και λόγος

Re: Τμήμα και λόγος

Re: Τμήμα και λόγος

Μέλη σε σύνδεση