Συνδυαστική

Γιώργος Απόκης · #1

Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\log(\cos x)=4\log \left[\sqrt{2}\sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)\right]}$ .

angvl · #2

Δε μπορώ να καταλάβω πως λύνεται η συγκεκριμένη με ύλη β' λυκείου.

Δηλαδή ακόμα και στο Π.Ο πρέπει να λύσουμε δύο τριγωνομετρικές ανισώσεις που δεν διδάσκονται στο σχολείο.

Πέρα απο αυτά προσπαθώ να την λύσω άλλα δεν μου βγαίνει, κάτι μου διαφεύγει.

Κάποια βοήθεια υπάρχει?

#3

angvl έγραψε:<...>

Δηλαδή ακόμα και στο Π.Ο πρέπει να λύσουμε δύο τριγωνομετρικές ανισώσεις που δεν διδάσκονται στο σχολείο.

Οι δύο ανισώσεις είναι πολύ απλό να λυθούν. Ο θεματοθέτης ήταν προσεκτικός ώστε να βάλει τέτοια νούμερα που κάνουν εύκολη την επίλυση. Το μόνο που χρειάζεσαι είναι να ξέρεις πώς μεταβάλονται οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

angvl έγραψε: Πέρα απο αυτά προσπαθώ να την λύσω άλλα δεν μου βγαίνει, κάτι μου διαφεύγει.

Κάποια βοήθεια υπάρχει?

Κάπου θα σου χρειαστεί ο τύπος $\sin ^2u = \frac{1}{2}(1-\cos 2u)$ .

Γιώργος Απόκης · #4

Eπαναφορά

pito · #5

Πρέπει αρχικά να ισχύουν $cosx>0\Rightarrow x\in (\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2}), sin(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2})>0\Rightarrow 0<\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}<\pi \Rightarrow x\in (\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ . Είναι τώρα $log(cosx)=log[\sqrt{2}sin(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2})]^{4}\Rightarrow cosx=4[sin^{2}(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2})]^{2}$ αφού η logx

είναι1-1. Έτσι $cosx=4(\frac{1-cos(\frac{\pi }{2}-x)}{2})^{2}\Rightarrow cosx=(1-sinx)^{2}$

Γιώργος Απόκης · #6

pito έγραψε:Πρέπει αρχικά να ισχύουν $cosx>0\Rightarrow x\in (\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2}), sin(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2})>0\Rightarrow 0<\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}<\pi \Rightarrow x\in (\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ . Είναι τώρα $log(cosx)=log[\sqrt{2}sin(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2})]^{4}\Rightarrow cosx=4[sin^{2}(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2})]^{2}$ αφού η είναι1-1. Έτσι $cosx=4(\frac{1-cos(\frac{\pi }{2}-x)}{2})^{2}\Rightarrow cosx=(1-sinx)^{2}$

Οι ανισώσεις δίνουν κι άλλα διαστήματα, περιορίστηκες στο $[0,2\pi)$ και τα άκρα δε φαίνονται σωστά... Tην τελευταία πώς θα τη συνεχίσουμε;

mathxl · #7

Συνεχίζω από εκεί που σαμάτησε ο pito χωρίς να λύσω τους περιορισμούς απλά με καταγραφή τους και ικανοποίηση τους, στο τέλος

$\displaystyle{\sqrt {\cos x} = 1 - \sin x \wedge \cos x > 0 \wedge \sin \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right) > 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\sin x = 1 - \sqrt {\cos x} \wedge \cos x > 0 \wedge \sin \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right) > 0 \wedge \sin x \ge 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{\sin ^2}x = 1 + \cos x - 2\sqrt {\cos x} \wedge \cos x > 0 \wedge \sin \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right) > 0 \wedge \sin x \ge 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{1 - {\cos ^2}x = 1 + \sqrt {{{\cos }^2}x} - 2\sqrt {\cos x} \wedge \cos x > 0 \wedge \sin \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right) > 0 \wedge \sin x \ge 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\sqrt {{{\cos }^4}x} + \sqrt {{{\cos }^2}x} - 2\sqrt {\cos x} = 0 \wedge \cos x > 0 \wedge \sin \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right) > 0 \wedge \sin x \ge 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\left( {\cos x = 0 \vee \sqrt {{{\cos }^3}x} + \sqrt {\cos x} - 2 = 0} \right) \wedge \cos x > 0 \wedge \sin \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right) > 0 \wedge \sin x \ge 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\left( {\cos x = 0 \vee \cos x = 1 \vee \sqrt {{{\cos }^2}x} + \sqrt {\cos x} + 2 = 0,\Delta < 0} \right) \wedge \cos x > 0 \wedge \sin \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right) > 0 \wedge \sin x \ge 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\cos x = 1 \wedge \cos x > 0 \wedge \sin \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right) > 0 \wedge \sin x \ge 0 \Leftrightarrow }$

πάω για καφέ γιατί γκρινιάζει η γυναίκα μου

Γιώργος Απόκης · #8

mathxl έγραψε:
$\displaystyle{\cos x = 1 \wedge \cos x > 0 \wedge \sin \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right) > 0 \wedge \sin x \ge 0 \color{red}\Leftrightarrow }$

πάω για καφέ γιατί γκρινιάζει η γυναίκα μου

Νομίζω ότι έπρεπε να μπει απλή συνεπαγωγή!

Γιώργος Απόκης · #9

Μετά την άριστη προηγούμενη διαπραγμάτευση, δίνω μια λίγο διαφορετική λύση:

Με τους περιορισμούς $\displaystyle{ \cos x > 0,~ \sin \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right) > 0}$ να ισχύουν σε όλη την επίλυση, έχουμε:

$\displaystyle{cosx=(1-sinx)^2\Rightarrow cos^2x=(1-sinx)^4\Rightarrow 1-sin^2x=(1-sinx)^4 \overset{sinx=w}\Rightarrow 1-w^2=(1-w)^4\Rightarrow }$

$\displaystyle{\Rightarrow (1-w)^4-(1+w)(1-w)=0\Rightarrow (1-w)[(1-w)^3-(1+w)]=0\Rightarrow (1-w)(-w^3+3w^2-4w)=0\Rightarrow$

$\Rightarrow w(w-1)(w^2-3w+4)=0}$ . To τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες, άρα w=0

ή

(απορρίπτεται αφού cosx>0

).

Tελικά $sinx=0 \Leftrightarrow x=k\pi,~k\in \mathbb Z$ και για να ικανοποιείται ο περιορισμός $\displaystyle{ sin \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right) > 0}$ πρέπει $x=4k\pi,~k\in \mathbb Z$ που επαληθεύουν.

Δίνω και μια γραφική της $\displaystyle{f(x)=log(cosx)-4log[\sqrt{2} sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)]}$ της οποίας οι ρίζες είναι και ρίζες της εξίσωσης.

Συνδυαστική

Συνδυαστική

Re: Συνδυαστική

Re: Συνδυαστική

Re: Συνδυαστική

Re: Συνδυαστική

Re: Συνδυαστική

Re: Συνδυαστική

Re: Συνδυαστική

Re: Συνδυαστική

Μέλη σε σύνδεση