Για να μην χαθεί (συνδυαστική με μιγαδικούς)

parmenides51 · #1

Μια προτεινόμενη από τον polysot εδώ

Έστω ο μιγαδικός αριθμός $\displaystyle{z}$ του οποίου η εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στον κύκλο $\displaystyle{x^2 + y^2 =1}$
και η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = |xz+\bar{z}|^2, x \in \mathbb{R}}$

α. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(x) = x^2 + 2x Re(z^2) +1}$
β. Αν $\displaystyle{f(x) \geq 1}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ :
1. Να δείξετε ότι $z^2 \in \mathbb{I}$
2. Να βρεθεί το όριο $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{f(x)}{e^x}\cdot\eta \mu \frac{1}{f(x)}}$

edit: Διόρθωση του τύπου της $\displaystyle{ f}$

#2

Νομίζω ότι υπάρχει θέμα με αυτή την άσκηση.

Συγκεκριμένα:

$\displaystyle{f(x)=|xz+z|^2=|z(x+1)|^2=(|z|\cdot|x+1|)^2=|z|^2 \cdot |x+1|^2=1^2\cdot |x+1|^2=|x+1|^2=x^2+2x+1}$

που είναι διάφορο από το ζητούμενο στο 1ο ερώτημα, δεδομένου ότι $\displaystyle{Re(z^2) \neq 1}$ .

parmenides51 · #3

Νομίζω πως σώνεται γράφοντας $\displaystyle{f(x)=|x+z^2|^2}}$

Ιστοσελίδα · #4

Συνάδελφοι απ' ότι βλέπω στην αρχική δημοσίευση η συνάρτηση είναι : $f(x)=|{xz + \bar{z}|$ και για κάποιο λόγο δεν εμφανίζεται ο συζυγής στο δεύτερο z, μάλλον λόγω λάθος τύπου latex...Συγκεκριμένα χρησιμοποιούσα στην αρχική δημοσίευση την εντολή \overbar όπως φαίνεται εκεί για την εμφάνιση του συζυγούς, η οποία όμως δε λειτουργεί εδώ (μάλλον θα χρειάζεται ειδικό πακέτο latex)...
Συγγνώμη, για όσους ασχολήθηκαν αρχικά. Έτσι πάντως την έχω λυμένη...

#5

...για να μη πάει χαμένη... μετα την διευκρυνηση του Παρμενιδη...

α) Είναι $f(x)={{\left| xz+\bar{z} \right|}^{2}}=(xz+\bar{z})(x\bar{z}+z)={{x}^{2}}z\bar{z}+x({{z}^{2}}+{{\bar{z}}^{2}})+z\bar{z}$ οπότε τελικά

$f(x)={{x}^{2}}+2x$ Re( ${{z}^{2}}$ )+1

β) 1) Αφού ισχύει $f(x)\ge 1$ θα είναι και ${{x}^{2}}+2x$ Re( ${{z}^{2}}$ )+1 $\ge 1$ οπότε και ${{x}^{2}}+2x$ Re( ${{z}^{2}}$ ) $\ge 0$ για

κάθε $x\in R$ άρα Δ=

( Re( ${{z}^{2}}$ ))2 $\le 0$ επομένως θα είναι αναγκαία Re( ${{z}^{2}}$ )=0 άρα ${{z}^{2}}$ φανταστικός

2) Επειδή $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}=+\infty$ το $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f(x)}=0$ και αν

$g(x)=\frac{f(x)}{{{e}^{x}}}\eta \mu \frac{1}{f(x)}=\frac{1}{{{e}^{x}}}\frac{\eta \mu \frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)}}$ επειδή $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\eta \mu \frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)}}\underset{\begin{smallmatrix} x\to +\infty \\ u\to 0 \end{smallmatrix}}{\overset{u=\frac{1}{f(x)}}{\mathop{=}}}\,\underset{u\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\eta \mu u}{u}=1$ και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{e}^{x}}}=0$ το $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=0$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Για να μην χαθεί (συνδυαστική με μιγαδικούς)

Για να μην χαθεί (συνδυαστική με μιγαδικούς)

Re: Για να μην χαθεί (συνδυαστική με μιγαδικούς)

Re: Για να μην χαθεί (συνδυαστική με μιγαδικούς)

Re: Για να μην χαθεί (συνδυαστική με μιγαδικούς)

Re: Για να μην χαθεί (συνδυαστική με μιγαδικούς)

Μέλη σε σύνδεση