Γεννήτρια ισοπλεύρων

KARKAR · #1

Τριχοτομούμε τις πλευρές BC , AC , AB

ενός τριγώνου $\displaystyle ABC$ , και με βάσεις τα μεσαία τμήματα , και κορυφές

P , S , T

αντίστοιχα , σχεδιάζουμε - εξωτερικά - ισόπλευρα τρίγωνα . Δείξτε ότι και το PST

, είναι ισόπλευρο .

#2

Επαναλαμβανόμενη χρήση του νόμου των συνημιτόνων:

Είναι

$\displaystyle{SC^2=\Big(\frac{b}{3}\Big)^2+\Big(\frac{b}{3}\Big)^2-2\frac{b}{3}\frac{b}{3}\cos 120^o=...=\frac{b^2}{3}.}$

Ομοίως έχουμε $\displaystyle{PC^2=\frac{a^2}{3}.}$

Οπότε, είναι

$\displaystyle{PS^2=SC^2+PC^2-2SC\cdot PC\cos \angle PCS=\frac{b^2}{3}+\frac{a^2}{3}-2\frac{b}{\sqrt{3}}\frac{a}{\sqrt{3}}\cos (60^o+C)=}$

$\displaystyle{=\frac{a^2+b^2}{3}-\frac{2ab}{3}\Big(\frac{1}{2}\cos C-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin C\Big)=\frac{a^2+b^2}{3}-\frac{2ab\cos C}{6}+\frac{2}{\sqrt{3}}\frac{1}{2}ab\sin C=}$

$\displaystyle{\frac{a^2+b^2}{3}-\frac{a^2+b^2-c^2}{6}+\frac{2}{\sqrt{3}}(ABC)=\frac{a^2+b^2+c^2}{6}+\frac{2}{\sqrt{3}}(ABC).}$

Λόγω συμμετρίας στην παραπάνω έκφραση, έχουμε $\displaystyle{PS=ST=TP.}$

Grigoris K. · #3

Μετά την άριστη λύση του κ. Θάνου θέλω να αναφέρω το εξής:

Κατασκευάζουμε τα 3 ισόπλευρα τρίγωνα εξωτερικά των πλευρών AB, BC, AC

.

Εύκολα προκύπτει ότι $\angle SAC = \angle SCA = 30^o$ και έτσι δείχνουμε ότι

είναι το κέντρο του ισόπλευρου τριγώνου.

Ομοίως δείχνουμε ότι τα T, P

είναι τα κέντρα των αντίστοιχων ισόπλευρων τριγώνων.

Συνεπώς το πρόβλημα ανάγεται σε ισοδύναμο του Θεωρήματος του Ναπολέοντα(http://en.wikipedia.org/wiki/Napoleon's_theorem).

#4

Ας παρατηρήσουμε ακόμα, ότι για το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{PST}$ έχουμε

$\displaystyle{(PST)=\Big(\frac{a^2+b^2+c^2}{6}+\frac{2}{\sqrt{3}}(ABC)\Big)\frac{\sqrt{3}}{4}\Rightarrow \boxed{(PST)\geq (ABC)},}$

λόγω της ανισότητας Weitzenböck: $\displaystyle{\boxed{a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}(ABC)}.}$

Γεννήτρια ισοπλεύρων

Γεννήτρια ισοπλεύρων

Re: Γεννήτρια ισοπλεύρων

Re: Γεννήτρια ισοπλεύρων

Re: Γεννήτρια ισοπλεύρων

Μέλη σε σύνδεση