Άλλη μία απόδειξη

Γιώργος Απόκης · #1

Σε τυχαίο τρίγωνο ABC

να δείξετε ότι ισχύει $\displaystyle{cosA+cosB+cosC\leq \frac{3}{2}}$ .

#2

Γιώργος Απόκης έγραψε:Σε τυχαίο τρίγωνο να δείξετε ότι ισχύει $\displaystyle{cosA+cosB+cosC\leq \frac{3}{2}}$ .

Πρόκειται για πολύ γνωστή ανισότητα στο τρίγωνο, η οποία μάλιστα είναι ισοδύναμη με την ανισότητα Euler $\displaystyle{\boxed{R\geq 2r}.}$

Για να την τοποθετεί ο Γιώργος σε αυτόν τον φάκελο, μάλλον περιμένει μια απόδειξη με χρήση εσωτερικού γινομένου, όπως η παρακάτω:

Ας είναι $\displaystyle{\vec{i},\vec{j},\vec{k}}$ τα μοναδιαία διανύσματα $\displaystyle{\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|},\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|},\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|}}$ αντίστοιχα.

Από την προφανή ανισότητα $\displaystyle{(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k})^2\geq 0}$ προκύπτει

$\displaystyle{\vec{i}^2+\vec{j}^2+\vec{k}^2+2\vec{i}\cdot \vec{j}+2\vec{j}\cdot \vec{k}+2\vec{k}\cdot \vec{i}\geq 0}$ .

Επειδή τώρα, είναι $\displaystyle{\widehat{(\vec{i}, \vec{j})}=180^o -B,}$

$\displaystyle{\widehat{(\vec{j}, \vec{k})}=180^o -C,}$

$\displaystyle{\widehat{(\vec{k}, \vec{i})}=180^o -A,}$

λαμβάνουμε

$\displaystyle{1+1+1+2(-\cos B-\cos C-\cos A)\geq 0,}$ δηλαδή τη ζητούμενη.

pito · #3

Με καταπλήξατε

και με αυτή την ανισότητα ασχολήθηκα πριν

#4

Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να δείξουμε: $\displaystyle{\cos 2A+\cos 2B + \cos 2C\geq -\frac{3}{2}}$

Γιώργος Απόκης · #5

matha έγραψε:
Γιώργος Απόκης έγραψε:Σε τυχαίο τρίγωνο να δείξετε ότι ισχύει $\displaystyle{cosA+cosB+cosC\leq \frac{3}{2}}$ .
Πρόκειται για πολύ γνωστή ανισότητα στο τρίγωνο, η οποία μάλιστα είναι ισοδύναμη με την ανισότητα Euler $\displaystyle{\boxed{R\geq 2r}.}$

Για να την τοποθετεί ο Γιώργος σε αυτόν τον φάκελο, μάλλον περιμένει μια απόδειξη με χρήση εσωτερικού γινομένου, όπως η παρακάτω:

Ας είναι $\displaystyle{\vec{i},\vec{j},\vec{k}}$ τα μοναδιαία διανύσματα $\displaystyle{\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|},\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|},\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|}}$ αντίστοιχα.

Από την προφανή ανισότητα $\displaystyle{(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k})^2\geq 0}$ προκύπτει

$\displaystyle{\vec{i}^2+\vec{j}^2+\vec{k}^2+2\vec{i}\cdot \vec{j}+2\vec{j}\cdot \vec{k}+2\vec{k}\cdot \vec{i}\geq 0}$ .

Επειδή τώρα, είναι $\displaystyle{\widehat{(\vec{i}, \vec{j})}=180^o -B,}$

$\displaystyle{\widehat{(\vec{j}, \vec{k})}=180^o -C,}$

$\displaystyle{\widehat{(\vec{k}, \vec{i})}=180^o -A,}$

λαμβάνουμε

$\displaystyle{1+1+1+2(-\cos B-\cos C-\cos A)\geq 0,}$ δηλαδή τη ζητούμενη.

Τη λύση αυτή με τα μοναδιαία είχα κι εγώ... απλώς προσθέτω ένα σχήμα

#6

socrates έγραψε:Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να δείξουμε: $\displaystyle{\cos 2A+\cos 2B + \cos 2C\geq -\frac{3}{2}}$

Όντως!

Ας είναι $\displaystyle{O}$ το περίκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{ABC.}$

Ισχύει $\displaystyle{(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})^2\geq 0}$

άρα

$\displaystyle{\overrightarrow{OA}^2+\overrightarrow{OB}^2+\overrightarrow{OC}^2+2\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OB}\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OC}\overrightarrow{OA}\geq 0.}$

Είναι

$\displaystyle{\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos (\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}})=R\cdotR\cos 2A=R^2\cos 2A}$

και ομοίως

$\displaystyle{\overrightarrow{OB}\overrightarrow{OC}=R^2\cos 2A,}$ $\displaystyle{\overrightarrow{OC}\overrightarrow{OA}=R^2\cos 2C}$ ,

οπότε προκύπτει η ζητούμενη.

Ας παρατηρηθεί ότι από αυτήν προκύπτουν και οι

$\displaystyle{\cos ^2A+\cos ^2B+\cos ^2 C\geq \frac{3}{4},}$

$\displaystyle{\sin ^2A+\sin ^2B+\sin ^2 C\leq \frac{9}{4},}$

$\displaystyle{a^2+b^2+c^2\leq 9R^2.}$

parmenides51 · #7

Γιώργος Απόκης έγραψε:Σε τυχαίο τρίγωνο να δείξετε ότι ισχύει $\displaystyle{cosA+cosB+cosC\leq \frac{3}{2}}$ .

εδώ με ανισότητα Jensen

#8

parmenides51 έγραψε:
Γιώργος Απόκης έγραψε:Σε τυχαίο τρίγωνο να δείξετε ότι ισχύει $\displaystyle{cosA+cosB+cosC\leq \frac{3}{2}}$ .
εδώ με ανισότητα Jensen

Προσοχή! Η συνάρτηση $\displaystyle{\cos x }$ δεν είναι κοίλη σε όλο το $\displaystyle{(0,\pi)}$

Άλλη μία απόδειξη

Άλλη μία απόδειξη

Re: Άλλη μία απόδειξη

Re: Άλλη μία απόδειξη

Re: Άλλη μία απόδειξη

Re: Άλλη μία απόδειξη

Re: Άλλη μία απόδειξη

Re: Άλλη μία απόδειξη

Re: Άλλη μία απόδειξη

Μέλη σε σύνδεση