Θεωρία αριθμών

Παναγιώτης 1729 · #1

Ν.δ.ο. υπάρχουν άπειροι φυσικοί

με

.

Αρχιμήδης 6 · #2

Για την ακολουθία $a_n=2^{a_{n-1}}+2$ με a_0=2

ισχύει ότι $a_{n-1} |a_n$ .
Aυτο γιατί...
1) Κάθε όρος της ακολουθίας είναι ελέυθερος τετραγώνου
2)Αν για πρώτο

, $p|a_{n-1}$ τότε p|a_n

kalagz · #3

Συμπληρώνω τη λύση του προηγούμενου φίλου βάζοντας μια γενικευμένη απάντηση του αρχικού προβλήματος.

Θεωρούμε την ακολουθία $a_n=p^a_{n-1}+p, a_0=p$ , όπου p ένας πρώτος. Ισχύει ότι $a_{n-1} | a_n$ και αυτό το δείχνουμε επαγωγικά:
Για k=1 έχουμε $a_1=p^{p-1}+p=p(p^{p-2}+1)\Longrightarrow a_0|a_1$ (p>=2).
Έστω ότι $a_{k-1}|a_k$ (*).
Θα αποδείξουμε ότι $a_k|a_{k+1}$ . Έστω $q\not=p$ ένας πρώτος διαιρέτης του $a_k=p \cdot (p^{a_{k-1}-1}+1)$ . Τότε $q|p^{a_{k-1}-1}+1\Longrightarrow p^{a_{k-1}-1}\equiv-1 (modq) \Longrightarrow p^{a_{k-1}} \equiv -p (modq) \Longrightarrow q|a_k$ . Επίσης, προφανώς p|a_k

. Άρα κάθε πρώτος διαιρέτης του a_k

διαιρεί τον $a_{k+1}$ και η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.

Αρχιμήδης 6 · #4

Aυτή η άσκηση έχει πέσει σε κάποιο διαγωνισμό ?

Θεωρία αριθμών

Θεωρία αριθμών

Re: Θεωρία αριθμών

Re: Θεωρία αριθμών

Re: Θεωρία αριθμών

Μέλη σε σύνδεση